Equação de Pell

Na matemática, mais especificamente na Teoria dos Números, a equação de Pell (também chamada de equação de Pell-Fermat) é a equação:

$x^2-d{y}^2=1$

Onde $x$ e $y$ são números inteiros e $d$ um número natural.

Esta equação foi nomeada em homenagem ao matemático inglês John Pell, foi estudada por Brahmagupta no século VII e por Fermat no século XVII.

Introdução

As equações de Pell-Fermat são estudadas há milênios na Índia e na Grécia. Eles tinham uma grande interesse particularmente no caso de $d$ = 2 uma vez que sua solução forneciam uma boas aproximações racionais de $\sqrt{2}\approx x/y.$ Baudhayana encontrou os pares (17,12) e (577, 408) forneciam muito boas a aproximações $\sqrt{2}\approx 577/408.$ Já Arquimedes usou a equação no caso de n = 3 e obteve a aproximação $\sqrt{3}\approx 1351/780$. com Brahmagupta , que desenvolveu o método chakravala para resolver a equação de Pell e outras equações indeterminadas quadráticas em sua Brahma Sphuta Siddhanta em 628, cerca de mil anos antes da época de Pell. O nome de Pell, nestas equações, ocorre devido a um erro de Euler atribuindo ao matemático inglês John Pell (1610-1685) o estudo da mesma. Aparentemente foi Lord Brouncker (1620-1684) o primeiro matemático europeu moderno a estudar as equações de Pell-Fermat.

Soluções

Note que

 $x^2-d{y}^2=1⟺(x-\sqrt{d}y)(x+\sqrt{d}y)=1$

Se $\sqrt{d}\in \mathbb{N}$, isto é, se $d$ é um quadrado perfeito, então

 $(x-\sqrt{d}y)(x+\sqrt{d}y)=1⟹\{\begin{array}{c}x-\sqrt{d}y=1\\ x+\sqrt{d}y=1\end{array}\text{ou}\{\begin{array}{c}x-\sqrt{d}y=-1\\ x+\sqrt{d}y=-1\end{array}$

Como $\sqrt{d}\in \mathbb{N}$, então existe $n$ natural tal que $n=\sqrt{d}$. Assim, no primeiro caso acima, temos que

 $\{\begin{array}{c}x-ny=1\\ x+ny=1\end{array}⟹(x-ny)+(x+ny)=1+1$

Assim,

 $(x+x)+(ny-ny)=2⟹x=1.$

Substituindo $x=1$ em uma das equações do sistema, teremos que $y=0$.

Resolvendo o caso

 $\{\begin{array}{c}x-ny=-1\\ x+ny=-1\end{array}$

Teremos $x=-1$ e $y=0$. Assim, os pares $(x,y)=(1,0)$ e $(x,y)=(-1,0)$ são ditos soluções triviais.

Joseph Louis Lagrange provou que, contanto que $d$ não seja um quadrado perfeito, a equação de Pell tem infinitas soluções inteiras distintas.

Os inversíveis em $Z[\sqrt{d}]$

Como $x^2-d{y}^2=(x+\sqrt{d}y)(x-\sqrt{d}y)$, então iremos usar os números da forma $a+\sqrt{d}b$, números em $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$, para resolver a equação.

Definição

Definiremos a norma $N:ℝ\to ℝ$ da seguinte forma

 $N(u)=u\overline{u}.$

Onde

$u=x+\sqrt{d}y$

e

$\overline{u}=x-\sqrt{d}y$

.

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Proposição

Seja $u=x+\sqrt{d}y$ uma solução da equação de Pell, qualquer potência $u^n;2\le n\in \mathbb{N}$ é, também, uma solução da equação de Pell.

Demonstração

Usaremos o processo de indução. Assim, note que para $n=2$

$\begin{array}{cc}N(u^2)& =N((x+\sqrt{d}y)(x+\sqrt{d}y))\\ & =N(x^2+d{y}^2+2\sqrt{d}xy)\\ & =(x^2+d{y}^2+2\sqrt{d}xy)(x^2+y^2-2\sqrt{d}xy)\\ & ={(x^2+d{y}^2)}^2-{\left(2\sqrt{d}xy\right)}^2\\ & =x^4+2d{x}^2{y}^2+d^2{y}^4-4d{x}^2{y}^2\\ & =x^4-2d{x}^2{y}^2+d^2{y}^4\\ & =(x^2-d{y}^2)(x^2-d{y}^2)\\ & =N(u)N(u)\\ & =1\end{array}$

Suponha que para todo $n\le k,N(u^n)=N(u^{n-1}\cdot u)=1$, então para $n=k+1$, temos que

$\begin{array}{cc}N(u^{k+1})& =N(u^k\cdot u)\\ & =N(u^k)N(u)\\ & =1\end{array}$

Assim, fica demonstrado que qualquer potência de uma solução é, ainda, uma solução da equação de Pell.

Proposição

Seja $u=x+\sqrt{d}y$ a solução fundamental da equação de Pell e $u^k=x_k+\sqrt{d}{y}_k$ a k-ésima potência de $u$, então

 $\begin{array}{cc}{x}_k& =x_{k-1}x+d{y}_{k-1}y\\ y_k& =x_{k-1}y+y_{k-1}x\end{array}$

Demonstração

Note que $u^k=u^{k-1}u$, logo

$\begin{array}{cc}{u}^k& =(x_{k-1}+\sqrt{d}{y}_{k-1})(x+\sqrt{d}y)\\ & =x_{k-1}x+x_{k-1}\sqrt{d}y+\sqrt{d}{y}_{k-1}x+d{y}_{k-1}y\\ \Rightarrow x_k+\sqrt{d}{y}_k& =(x_{k-1}x+d{y}_{k-1}y)+\sqrt{d}(x_{k-1}y+y_{k-1}x)\end{array}$

Comparando os termos, temos que $x_k=x_{k-1}x+d{y}_{k-1}y\text{ e }{y}_k=x_{k-1}y+y_{k-1}x$.

Observação: note que $u=x_1+y_1\sqrt{d}$ é a solução fundamental

O grupo dos inversíveis em $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$

Seja a restrição,

$N:\mathbb{Z}[\sqrt{d}{]}^{*}\to {\mathbb{Z}}^{*}$

Onde $\mathbb{Z}[\sqrt{d}{]}^{*}=\{u\in \mathbb{Z}[\sqrt{d}];N(u)=1\}$ e ${\mathbb{Z}}^{*}=\{-1,1\}$ (inversíveis em $\mathbb{Z}$).

Note que a norma definida dessa forma é um homomorfismo.

Agora iremos verificar que $G=(\mathbb{Z}[\sqrt{d}{]}^{*},\cdot )$ é um grupo:

1. Associatividade: como $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]\subset ℝ$ e a operação é a multiplicação usual, garantimos a associatividade;
2. Elemento neutro: Note que $1\cdot u=u\mathrm{\forall }u\in ℝ$, logo, $u\in \mathbb{Z}[\sqrt{d}{]}^{*}\Rightarrow 1\cdot u=u$;
3. Inverso : Por construção, todo $u\in \mathbb{Z}[\sqrt{d}{]}^{*}$possui inverso.

Seja $u\in \mathbb{Z}[\sqrt{d}{]}^{*}$ a solução fundamental da equação de Pell, então $u^k$ ainda será uma solução da equação, logo, $u$ gera $G$, portanto, $G$ é um grupo cíclico, logo, abeliano. Assim,

 $G=\{u^0,u^1,\dots \}=\{1,u,u^2,...\}$

Aplicações

Da equação de Pell, temos que $x^2=1+d{y}^2$, logo

 $\frac{x^2}{y^2}=\frac{1}{y^2}+d⟹\frac{x}{y}=\sqrt{\frac{1}{y^2}+d}.$

Intuitivamente, podemos perceber que a razão $x/y$ nos dará boas aproximações para $\sqrt{d}$ quando $1/y^2$ for pequeno. Matematicamente, podemos formular essa ideia como

 $\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{\frac{1}{y^2}+d}=\sqrt{d}.$

Com isso, podemos usar frações continuadas para escrever o número irracional $\sqrt{d}$ na forma $\sqrt{d}=[a_0,\overline{a_1,\dots ,2a_0}]$

Exemplo

Seja a equação de Pell

 $x^2-2y^2=1$.

A solução fundamental dessa equação é o par $(3,2)$, pois, $3^2-2(2{)}^2=9-8=1$. Assim, $u=3+2\sqrt{2}$, então $u^k=3x_{k-1}+4y_{k-1}+\sqrt{2}(x_{k-1}2+y_{k-1}3)$, daí

 $\begin{array}{cc}{u}^2& =3x_1+4y_1+(2x_1+3y_1)\sqrt{2}=17+12\sqrt{2}\\ u^3& =3x_2+4y_2+(2x_2+3y_2)\sqrt{2}=99+70\sqrt{2}\\ u^4& =3x_3+4y_3+(2x_3+3y_3)\sqrt{2}=577+408\sqrt{2}\\ \end{array}$
 $⋮$

Fazendo a razão entre os coeficientes das soluções, temos que

 $\frac{3}{2}=1,5;\frac{17}{12}=1,41\bar{6};\frac{99}{70}=1,41\overline{428571};\frac{577}{408}=1.4142\overline{1568627450980392}$

Essas razões estão se aproximando de $\sqrt{2}=1,414213562373\dots$