Localmente (topologia)

A expressão localmente, em topologia, é usada para se referir a uma propriedade que vale para todo ponto, em uma região suficientemente próxima.

Mais precisamente, seja X um espaço topológico, então este espaço tem determinada propriedade localmente quando, para todo ponto $p\in X$ e toda vizinhança aberta U de p, $p\in U\subseteq X$, existe uma vizinhança V de p,$p\in V\subseteq U$, em que esta propriedade vale.

Exemplos

• Um espaço é localmente conexo por arcos em um ponto x quando toda vizinhança U de x contém uma vizinhança V tal que, para todo par de pontos em V, existe um arco contido em V ligando estes dois pontos. Um espaço é localmente conexo por arcos se ele é localmente conexo por arcos em todos seus pontos.

• Um espaço T1 é localmente compacto quando todo ponto p tem uma vizinhança V cujo fecho é compacto.

• Um sistema de coordenadas é cartesiano quando ds² é representado por uma forma com coeficientes constantes. Nem sempre é possível encontrar estas coordenadas, porém, para todo ponto p é possível encontrar um sistema de coordenadas que se comporta desta forma em uma vizinhança de p. Este sistema é chamado de localmente cartesiano ou localmente geodésico.