Tautologia (regra de inferência)

Predefinição:Reciclagem Na lógica proposicional, tautologia é uma de duas regras de substituição comumente utilizadas. As regras são usadas para eliminar redundâncias em disjunções e conjunções quando elas ocorrem em provas lógicas. Elas são:

O princípio da idempotência da disjunção:

$P\vee P\iff P$

e o princípio da idempotência da conjunção:

$P\wedge P\iff P$

Onde "$\iff$" é um símbolo da metalógica que representa "pode ser substituído numa prova lógica com".

Relação com tautologia

A regra tem esse nome porque seu conceito é o mesmo do enunciado tautológico. Se "p e p" é verdade, então, "p" é verdade; e se "p ou p" é verdade, então, "p" é verdade.

Esse tipo de tautologia é chamada de idempotência. Embora essa regra seja uma expressão particular da tautologia, qualquer regra de inferência pode ser representada por uma tautologia e vice-versa.

Notação formal

Teoremas são fórmulas lógicas $\varphi$ onde $⊢\varphi$ é a conclusão de uma prova válida, enquanto a consequência semântica equivalente  $\models \varphi$ indica uma tautologia.

A regra da tautologia pode ser expressada com as sentenças:

$P\vee P⊢P$

e

$P\wedge P⊢P$

onde $⊢$ é um símbolo lógico que significa que $P$ é uma consequência sintática de $P\vee P$, em um caso, $P\wedge P$ em outro caso, no sistema lógico.

ou como regra de inferência:

$\frac{P\vee P}{\therefore P}$

e

$\frac{P\wedge P}{\therefore P}$

onde a regra é: sempre que uma instância de "$P\vee P$" ou "$P\wedge P$" aparecer em uma prova lógica, pode ser substituído apenas por "$P$".

O princípio foi afirmado como um teorema da lógica proposicional por Russell e Whitehead em "Principia Mathematica" como:

$(P\vee P)\to P$

e

$(P\wedge P)\to P$

onde $P$ é uma preposição formal.