Composição de funções

Em matemática, uma função composta é criada aplicando uma função à saída, ou resultado, de uma outra função, sucessivamente. Como uma função deve possuir um domínio e contradomínio bem definidos e estamos falando de aplicar funções mais de uma vez, devemos ser precisos com relação a como estamos aplicando estas funções.

Definição

Seja:

$f:A\to B$

e

$g:C\to D;B\subset C$

duas funções, Se o domínio de g contiver a imagem de f, podemos definir a função composta:

$g\circ f:A\to D$

como:

$g\circ f(x)=g(f(x));\mathrm{\forall }x\in A$

Isto é ilustrado na figura abaixo:

Associatividade

Pode-se então estender a definição para a composição de três ou mais funções, de maneira análoga. Sejam

$f:A\to B\text{, }g:B\to C\text{ e }h:C\to D$.

É fácil mostrar que:

$(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$

Por transitividade e associatividade, define-se a função composta:

$h\circ g\circ f:A\to D$

como:

$(h\circ g\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))\mathrm{\forall }x\in A$

De uma forma geral, basta a imagem $f(A)$ estar contida no domínio de g para podermos definir a função composta $g\circ f$ (a definição rigorosa seria uma composição com a função inclusão).

Potência de uma função

Seja $f:A\to A$. Neste caso, pode-se definir $f\circ f$, $f\circ f\circ f$, etc. Pode-se portanto definir $f^n$ (por indução: $f^n\circ f=f\circ f^n=f^{n+1}$) para $n\ge 2$. Definindo-se:

$f^0={\text{Id}}_A$

$f^1=f$

Chega-se facilmente a:

$f^n\circ f^m=f^{n+m}$

Eventualmente, conforme a estrutura do conjunto A e da função f, é possível estender a definição de $f^n$ para n inteiro (ou mesmo outros superconjuntos dos naturais).