Condição de energia

Em teorias clássicas de campo relativísticas da gravitação, particularmente na relatividade geral, uma condição de energia é um de vários critérios alternativos que podem ser aplicados para o teor de matéria da teoria, quando se é ou não possível ou desejável especificar este conteúdo explicitamente. O esperado é, então, que qualquer teoria da matéria razoável irá satisfazer esta condição, ou pelo menos vai preservar a condição se ela é satisfeita pelas condições de partida.

Na relatividade geral, condições de energia são muitas vezes utilizadas (e necessárias) em provas de vários teoremas importantes sobre buracos negros, como o teorema da calvície ou as leis da termodinâmica de buracos negros.

Formulação matemática

Dentre as diversas condições de energia já usadas, as mais comuns são as seguintes:

Condição de energia fraca

A condição de energia fraca estipula que qualquer vetor tipo-tempo $\overrightarrow{X},$ a densidade de energia de qualquer distribuição de matéria, medida por qualquer observador no espaço-tempo, deve ser sempre não negativa, isto é,

$\rho =T_{ab}{X}^a{X}^b\ge 0.$

Condição de energia nula

A condição de energia nula impõe que para qualquer vetor tipo-nulo $\overrightarrow{k}$ dirigido para o futuro, temos

$\rho +p=T_{ab}{k}^a{k}^b\ge 0.$

Condição de energia dominante

A condições de energia dominante afirma que, além da condição de energia fraca ser válida, é necessário que $T^{ab}{X}_a$ seja tipo-tempo ou tipo-nulo, ou seja,

$T_{ab}{T^b}_c{X}^a{X}^c\le 0.$

Isso implica que a massa-energia observada nunca pode fluir mais rápida do que a luz no vácuo.

Condição de energia forte

A condição de energia forte estipula que para cada vetor tipo-tempo $\overrightarrow{X}$ dirigido para o futuro, temos que

$(T_{ab}-\frac{1}{2}T{g}_{ab})X^a{X}^b\ge 0,$

onde $T={T^c}_c$ é o traço do tensor de energia-momento.

Esta condição garante o caráter atrativo da matéria, por isso um modelo em que se permita a presença de energia escura impõe que essa condição deva ser violada.

Fluido perfeito

Implicações entre algumas condições de energia no caso de um fluido perfeito.

Considerando a assinatura da métrica como $(+,-,-,-)$, e o caso especial em que a fonte é um fluido perfeito, o tensor de energia-momento energia possui a seguinte forma:

$T^{ab}=(\rho +p)u^a{u}^b-p{g}^{ab},$

onde $u^a$ é a quadrivelocidade do fluido, $\rho$ é densidade de energia e $p$ é a pressão.

As condições de energia podem ser expressas como

• Condição de energia nula (null): $\rho +p\ge 0.$
• Condição de energia fraca (weak): $\rho \ge 0,\rho +p\ge 0.$
• Condição de energia dominante (dominant): $\rho \ge |p|.$
• Condição de energia forte (strong): $\rho +p\ge 0,\rho +3p\ge 0.$

Note que algumas dessas condições permitem pressões negativas.

Bibliografia

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