Sistema de partículas em interação

Na teoria da probabilidade, um sistema de partículas em interação (IPS) é um processo estocástico $(X(t){)}_{t\in {ℝ}^{+}}$ em algum espaço de configuração $\mathrm{\Omega }=S^G$ dado por um espaço de sítio, um grafo infinito contável $G$ e um espaço de estado local, um espaço métrico compacto $S$. Mais precisamente, IPSs são processos de Marvok de tempo contínuo que descrevem o comportamento coletivo de componentes estocasticamente em interação. IPSs são os análogo de tempo contínuo dos autômatos celulares estocásticos. Entre os principais exemplos são o modelo de eleições, o processo de contato, o processo de exclusão simples  assimétrico (PESA), a dinâmica de Glauber e, em particular, o modelo Ising estocástico.

IPS são geralmente definidos através de seus geradores de Markov dando origem a um processo de Markov único utilizando semigrupos de Markov e o teorema de Hille-Yosida. Novamente o gerador é dada através das denominadas taxas de transição $c_{\mathrm{\Lambda }}(\eta ,\xi )>0$ onde $\mathrm{\Lambda }\subset G$ é um conjunto finito de sítios e $\eta ,\xi \in \mathrm{\Omega }$ com ${\eta }_i={\xi }_i$ para todo $i\notin \mathrm{\Lambda }$. As taxas descrevem tempos de espera exponenciais do processo para saltar da configuração $\eta$ para a configuração $\xi$. Geralmente, as taxas de transição são dadas na forma de uma medida finita $c_{\mathrm{\Lambda }}(\eta ,d\xi )$ em $S^{\mathrm{\Lambda }}$.

O gerador $L$ de um IPS tem a seguinte forma: primeiro, o domínio de $L$ é um subconjunto do espaço de "observáveis", isto é, o conjunto de valores reais de funções contínuas no espaço de configuração $\mathrm{\Omega }$. Em seguida, para qualquer $f$ observável no domínio de $L$, tem-se

$Lf(\eta )=\sum _{\mathrm{\Lambda }}\underset{\xi :{\xi }_{{\mathrm{\Lambda }}^c}={\eta }_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}{\int }{c}_{\mathrm{\Lambda }}(\eta ,d\xi )[f(\xi )-f(\eta )]$.

Por exemplo, para o modelo Ising estocástico temos $G={\mathbb{Z}}^d$, $S=\{-1,+1\}$, $c_{\mathrm{\Lambda }}=0$ se $\mathrm{\Lambda }\ne \{i\}$ para alguns $i\in G$ e

$c_i(\eta ,{\eta }^i)=\exp [-\beta \sum _{j:|j-i|=1}{\eta }_i{\eta }_j]$

onde ${\eta }^i$ é a configuração igual a $\eta$ exceto que ela é invertida no sítio $i$. ${\displaystyle }$ é um novo parâmetro modelando a temperatura inversa.