Implicação material (regra de inferência)

Na lógica proposicional, implicação material  é uma regra de substituição válida que permite que uma sentença condicional seja substituída por uma disjunção em que o antecedente é negado. A regra determina que P implica Q é logicamente equivalente à não-P ou Q e pode substituir o outro em provas lógicas.

$P\to Q\iff \mathrm{\neg }P\vee Q$

Onde "$\iff$"é um símbolo metalógico que representa "pode ser substituído em uma prova."

Notação Formal

A regra da implicação material pode ser escrita em notação de sequente:

$(P\to Q)⊢(\mathrm{\neg }P\vee Q)$

onde $⊢$ é um símbolo metalógico significando que $(\mathrm{\neg }P\vee Q)$ é uma consequência lógica de $(P\to Q)$ em alguns sistemas lógicos;

ou na regra de inferência:

$\frac{P\to Q}{\mathrm{\neg }P\vee Q}$

onde a regra é que, sempre que uma instância de "$(P\to Q)$"é exibida em uma linha de uma prova, ela pode ser substituída por "$\mathrm{\neg }P\vee Q$";

ou como a afirmação de uma verdade-funcional, tautologia ou teorema da lógica proposicional:

$(P\to Q)\to (\mathrm{\neg }P\vee Q)$

Exemplo

Um exemplo é:

Se ele é um urso (P), então ele pode nadar (Q).

Assim, ele não é um urso ou ele pode nadar.

Se for descoberto que o urso não podia nadar, escrito simbolicamente como $P\wedge \mathrm{\neg }Q$, ambas as sentenças são falsas, mas caso contrário, elas são ambas verdadeiras.