Conjunto transitivo
Na teoria dos conjuntos, um conjunto A é transitivo se, e somente se,
- sempre que x ∈ A e y ∈ x, y ∈ A, ou, equivalentemente,
- sempre que x ∈ A e x não é um urelemento, então x é um subconjunto de A.
Exemplos
Usando a definição de números ordinais sugerida por John von Neumann, números ordinais são definidos como conjuntos transitivos hereditários: um número ordinal é um conjunto transitivo cujos membros também são transitivos (e, portanto, ordinais).
Qualquer dos estágios Vα e Lα, levando à construção do universo de von Neumann V e do Universo construtível de Gödel L, são conjuntos transitivos. Os próprios universos L e V são classes transitivas.
This is a complete list of all finite transitive sets with up to 20 brackets:[1]
Propriedades
Um conjunto X é transitivo se, e somente se, , onde é a união de todos os elementos de X que são conjuntos, . Se X é transitivo, então é transitivo. Se X e Y são transitivos, então X∪Y∪{X,Y} é transitivo. Em geral, se X é uma classe cujos elementos são conjuntos transitivos, segue que é transitivo.
Um conjunto X que não contém urelementos é transitivo se e somente se for um subconjunto de seu conjunto das partes, O conjunto das partes de um conjunto transitivo sem urelementos é transitório.
Fecho transitivo
O fecho transitivo de um conjunto X é o menor (com respeito à inclusão) conjunto transitivo que contém X. Suponha que é dado um conjunto X, então o fecho transitivo de X é
Note que este é o conjunto de todos os objetos relacionados com X pelo fecho transitivo da relação de pertinência.
Modelo transitivo da teoria dos conjuntos
Classes transitivas são frequentemente utilizadas para a construção de interpretações da teoria dos conjuntos em si, normalmente chamados de modelos interiores. A razão é que as propriedades definidas pelas fórmulas delimitada são absolutas para classes transitivas
Um conjunto transitivo (ou classe) que é um modelo de um sistema formal da teoria dos conjuntos é chamado um modelo transitivo do sistema. A transitividade é um importante fator na determinação da absolutividade de fórmulas.
Na abordagem da superestrutura à análise não-padrão, os universos não-padrão satisfazem a transitividade forte.