Lógica de Łukasiewicz

Em matemática, a lógica de Łukasiewicz (em inglês:Predefinição:IPAc-en; em polonês: Predefinição:IPAc-en), é uma lógica não-clássica multivalorada. Foi definida por Jan Łukasiewicz como uma lógica trivaluada. Posteriormente, foi generalizada para n valores (com n finito), bem como para infinitamente valorada (ℵ₀-valorada), ambas proposicionais e de primeira ordem. A versão ℵ₀-valorada foi publicada em 1930 por Łukasiewicz e Alfred Tarski, ficando conhecida como lógica de Łukasiewicz-Tarski.

Linguagem

Os conectivos proposicionais da lógica de Łukasiewicz são:

• implicação $\to$,
• negação $\mathrm{\neg }$,
• equivalência $\leftrightarrow$,
• conjunção fraca $\wedge$,
• conjunção forte $\otimes$,
• disjunção fraca $\vee$,
• disjunção forte $\oplus$,

e constantes proposicionais $\bar{0}$ e $\bar{1}$. A presença de conjunções e disjunções é comum em subestruturas lógicas que não possuem a regra de contração, da qual a lógica de Łukasiewicz faz parte.

Axiomas

A axiomática original para sistemas proposicionais infinitamente-valorados da lógica de Łukasiewicz utiliza a implicação e a negação como conectivos primitivos:

$A\to (B\to A)$

$(A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C))$

$((A\to B)\to B)\to ((B\to A)\to A)$

$(\mathrm{\neg }B\to \mathrm{\neg }A)\to (A\to B).$

A lógica proposicional multivalorada de Łukasiewicz também pode ser axiomatizada pela adição dos seguintes axiomas ao sistema axiomático de um lógica monoidal de norma T:

• Divisibilidade: $(A\wedge B)\to (A\otimes (A\to B))$
• Negação dupla: $\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }A\to A.$

Para uma lógica de Łukasiewicz finitamente valorada, são necessários outros axiomas.

Semântica

A lógica de Łukasiewicz é uma lógica de real-valor das quais as sentenças podem assumir um valor verdadeiro e não apenas um ou zero mas qualquer número real no intervalo (por exemplo 0,25). As valorações têm um definição recursiva:

• $w(\theta \circ \varphi )=F_{\circ }(w(\theta ),w(\varphi ))$ para um conector binário $\circ ,$
• $w(\mathrm{\neg }\theta )=F_{\mathrm{\neg }}(w(\theta )),$
• $w(\bar{0})=0$ e $w(\bar{1})=1,$

onde as definições dos operadores são as seguintes:

• Implicação: $F_{\to }(x,y)=\min \{1,1-x+y\}$
• Equivalência: $F_{\leftrightarrow }(x,y)=1-|x-y|$
• Negação: $F_{\mathrm{\neg }}(x)=1-x$
• Conjunção fraca: $F_{\wedge }(x,y)=\min \{x,y\}$
• Disjunção fraca: $F_{\vee }(x,y)=\max \{x,y\}$
• Conjunção forte: $F(x,y)=\max \{0,x+y-1\}$
• Disjunção forte: $F(x,y)=\min \{1,x+y\}.$

A função verdade $F\otimes$ da conjunção forte é a norma-T de Łukasiewicz e a função verdade $F\oplus$ da disjunção forte é seu dual conomra-T. A função verdade $F_{\to }$ é o resíduo da norma-T de Łukasiewicz. Todas as funções verdade baseadas em conectivos são contínuas.

Por definição, a fórmula é uma tautologia lógica de Łukasiewicz infinitamente valorada se ela vale 1 sob qualquer variação das variáveis proposicionais por um número real no intervalo [0, 1].

Semântica finitamente valorada

Usando exatamente as mesmas fórmulas de valoração para uma semântica de valores reais, está definida a menos de isomorfismo:

• Qualquer conjunto finito de cardinalidade n ≥ 2 escolhendo como domínio Predefinição:Nowrap}
• Qualquer conjunto enumerável escolhendo o conjunto como { p/q | 0 ≤ p ≤ q onde p é um inteiro não-negativo e q é um inteiro positivo }.

Ver também

• Paradoxo de Tarski-Seidenberg
• Lógica difusa