Sólido de revolução

Rotação de uma curva. A superfície formada é uma superfície de revolução

Ficheiro:Revolução de poliedros 03.webm Em matemática, engenharia e manufatura, um sólido de revolução é uma figura sólida obtida pela rotação de um plano de curva em torno de alguma linha reta (o eixo), que se situa no mesmo plano.

Supondo que a curva não cruze o eixo, o volume do sólido será igual ao comprimento do círculo descrito pelo centróide da figura, multiplicado pela área da figura (segundo oteorema do centroide de Papo-Guldino).

Um disco representante é um elemento de volume tridimensional de um sólido de revolução. O elemento é criado pela rotação de um segmento de linha (de comprimento Predefinição:Mvar) em torno de algum eixo (localizado r unidades de distância), para que um volume cilíndrico de Predefinição:Math unidades seja fechado.

Encontrando o volume

Dois métodos comuns para encontrar o volume de um sólido de revolução são: O método de disco e o método de integração por camada . Para aplicar estes métodos, é mais fácil desenhar o gráfico em questão; identificar a área que está sendo girada em torno do eixo de revolução; determinar o volume de um disco em forma de fatia de um sólido, com espessura Predefinição:Mvar, ou uma camada cilíndrica de largura Predefinição:Mvar; e, em seguida, encontrar o limite da soma destes volumes como Predefinição:Mvar aproximando-se de 0, um valor que pode ser encontrado através da escolha de uma integral apropriada.

Método dos discos

Disco de integração sobre o eixo y

O método dos discos é usado quando a fatia que foi desenhada é perpendicular ao eixo de revolução; isto é, quando a integração é paralela ao eixo de revolução.

O volume do sólido formado pela rotação da área entre as curvas de Predefinição:Math e Predefinição:Math e as linhas de Predefinição:Math e Predefinição:Math sobre o eixo x é dada por

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x{)}^2-g(x{)}^2|dx.$

Se Predefinição:Math (e.g. rotacionando uma área entre a curva e o eixo x), esta se reduz a:

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x{)}^{2}dx.$

O método pode ser visualizado considerando um fino retângulo horizontal entre y e Predefinição:Math na parte superior e Predefinição:Math na parte inferior, e tendo sobre o eixo y a forma de um anel (ou disco no caso em que Predefinição:Math), com raio externo Predefinição:Math e raio interno Predefinição:Math. A área de um anel é Predefinição:Math, onde R é o raio exterior (neste caso, Predefinição:Math), e r é o raio interno (neste caso, Predefinição:Math). O volume de cada disco infinitesimal é, portanto, Predefinição:Math. O limite de Riemann é a soma dos volumes dos discos entre a e b tornando-se integral (1).

Método do cilindro

A integração de camadas

O método das camadas cilíndricas é utilizado quando a fatia que foi desenhada é paralela ao eixo de revolução; isto é, quando a integração é perpendicular ao eixo de revolução.

O volume do sólido formado pela rotação da área entre as curvas de Predefinição:Math e Predefinição:Math e as linhas de Predefinição:Math e Predefinição:Math sobre o eixo y é dada por:

$V=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}x|f(x)-g(x)|dx.$

Se Predefinição:Math e.g. rotacionando uma área entre a curva e o eixo y, esta se reduz a:

$V=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}x|f(x)|dx.$

Sólidos em repouso

Sólidos rotacionando formando Sólidos de revolução

O método pode ser visualizado considerando um fino retângulo vertical em x com altura Predefinição:Math, e tendo sobre o eixo y, a forma de uma camada cilíndrica. A área lateral da superfície de um cilindro é Predefinição:Math, onde r é o raio (neste caso, x), e h é a altura (neste caso Predefinição:Math). Somando-se todas as áreas de superfície ao longo do intervalo teremos o volume total.

Forma paramétrica

Matemática e arte: estudo de um vaso como um sólido de revolução por Paolo Uccello. Século 15

Quando uma curva é definida por sua forma paramétrica Predefinição:Math em algum intervalo Predefinição:Math, os volumes dos sólidos gerados por rotacionarem a curva em torno do eixo x ou do eixo y são dados por:

$V_x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\pi y^2\frac{dx}{dt}dt,$

$V_y=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\pi x^2\frac{dy}{dt}dt.$

Sob as mesmas circunstâncias, as áreas das superfícies dos sólidos gerados por rotacionarem a curva em torno do eixo x ou do eixo y são dados por

$A_x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}2\pi y\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt,$

$A_y=\underset{a}{\overset{b}{\int }}2\pi x\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt.$

Veja também

• Superfície de revolução
• Teoremas de Pappus-Guldinus

Referências

• Predefinição:Citar web
• Predefinição:Citar livro (Predefinição:Google books)
• Predefinição:MathWorld