Teoria de Mohr-Coulomb

Predefinição:Mais notas A teoria de Mohr–Coulomb é um modelo matemático que descreve a resposta de materiais frágeis como o concreto a tensão cisalhante bem como tensão normal. A maior parte dos materiais clássicos de engenharia seguem de alguma forma esta regra em pelo menos uma porção de seu envelope de falha cisalhante. De forma geral a teoria se aplica a materiais para os quais a resistência à compressão excede em muito a resistência à tração.

Em engenharia geotécnica a teoria é usada para definir resistência ao cisalhamento de solos e rochas a diferentes tensões efetivas.

Em engenharia estrutural a teoria é usada para determinar cargas de falha bem como o ângulo de fratura de um deslocamento de fratura em concreto e materiais similares. A hipótese de atrito de Coulomb é usada para determinar a combinação de tensão cisalhante e normal que irá causar a fratura do material. O círculo de Mohr é usado para determinar quais as tensões principais irão produzir esta combinação de tensão cisalhante e normal, e o ângulo do plano no qual isto irá ocorrer. De acordo com o princípio da normalidade a tensão intruduzina na falha será perpendicular à linha descrevendo a condição de fratura.

Pode ser mostrado que um material falhando de acordo com a hipótese de fricção de Coulomb revelará o deslocamento introduzido na falha formando um ângulo com a linha de fratura igual ao ângulo de fricção. Isto torna a resistência do material determinável por comparação do trabalho mecânico externo introduzido pelo deslocamento e o carregamento externo com o trabalho mecânico interno introduzido pela deformação e tensão na linha de falha. Pela lei da conservação da energia a soma destas deve ser zero e isto torna possível calcular a carga de falha da construção.

Uma melhoria comum deste modelo é a combinação da fricção de Coulomb com a hipótese da tensão principal de Rankine para descrever uma fratura de separação.

História do desenvolvimento

A teoria de Mohr–Coulomb é denominada em memória de Charles Augustin de Coulomb e Christian Otto Mohr. A contribuição de Coulomb foi um ensaio publicado em 1773 intitulado "Essai sur une application des règles des maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l'architecture". Mohr desenvolveu uma forma generalizada da teoria no final do século XIX. Como a forma generalizada afetou a interpretação do critério, mas não a essência do mesmo, alguns textos continuam a referir-se ao critério como simplesmente 'critério de Coulomb'.

Critério de falha de Mohr–Coulomb

O critério de falha de Mohr–Coulomb representa o envelope linear que é obtido de uma plotagem da resistência ao cisalhamento de um material $\tau$ versus a tensão normal aplicada $\sigma$. Esta relação é expressa como

Círculos que representam um ensaio triaxial. No ensaio triaxial as pressões aumentam de forma igualitária em todas as direções.

$\tau =\sigma \tan (\varphi )+c$

onde $c$ é a interseção do envelope de falha com o eixo $\tau$, e $\varphi$ é o ângulo do envelope de falha. A quantidade $c$ é frequentemente denominada coesão e o ângulo $\varphi$ é chamado de ângulo de fricção interna. A compressão é assumida ser positiva na discussão a seguir. Se a compressão é assumida ser negativa então $\sigma$ deve ser trocado por $-\sigma$.

Se $\varphi =0$, o critério de Mohr–Coulomb se reduz à teoria de Tresca. Por outro lado, se $\varphi =90^{\circ }$ o modelo de Mohr–Coulomb é equivalente ao modelo de Rankine. Valores maiores de $\varphi$ não são permitidos.

Do círculo de Mohr temos

$\sigma ={\sigma }_m-{\tau }_m\sin \varphi ;\tau ={\tau }_m\cos \varphi$

onde

${\tau }_m=\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_3}{2};{\sigma }_m=\frac{{\sigma }_1+{\sigma }_3}{2}$

e ${\sigma }_1$ é a tensão principal máxima e ${\sigma }_3$ é a tensão principal mínima.

Portanto, o critério de Mohr–Coulomb pode também ser expresso como

${\tau }_m={\sigma }_m\sin \varphi +c\cos \varphi$

Esta forma do critério de Mohr–Coulomb é aplicável a falha sobre um plano que é paralelo à direção ${\sigma }_2$.

Critério de falha de Mohr–Coulomb em três dimensões

O critério de Mohr–Coulomb em três dimensões é frequentemente expresso como

$\{\begin{array}{cc}\pm \frac{{\sigma }_1-{\sigma }_2}{2}& =\left[\frac{{\sigma }_1+{\sigma }_2}{2}\right]\sin (\varphi )+c\cos (\varphi )\\ \pm \frac{{\sigma }_2-{\sigma }_3}{2}& =\left[\frac{{\sigma }_2+{\sigma }_3}{2}\right]\sin (\varphi )+c\cos (\varphi )\\ \pm \frac{{\sigma }_3-{\sigma }_1}{2}& =\left[\frac{{\sigma }_3+{\sigma }_1}{2}\right]\sin (\varphi )+c\cos (\varphi ).\end{array}$

A superfície de falha de Mohr–Coulomb é um cone com seção transversal hexagonal no espaço das tensões deviatórias.

As expressões para $\tau$ e $\sigma$ podem ser generalizadas para três dimensões desenvolvendo expressões para a tensão normal e a tensão cisalhante resolvida sobre um plano de orientação arbitrária em relação aos eixos coordenados (vetores de base). Se o vetor normal unitário ao plano de interesse é

$𝐧=n_1{𝐞}_1+n_2{𝐞}_2+n_3{𝐞}_3$

onde ${𝐞}_i,i=1,2,3$ são os três vetores base unitários ortonormais, e se as tensões principais ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ são alinhadas com os vetores base ${𝐞}_1,{𝐞}_2,{𝐞}_3$, então as expressões para $\sigma ,\tau$ são

$\begin{array}{cc}\sigma & =n_1^2{\sigma }_1+n_2^2{\sigma }_2+n_3^2{\sigma }_3\\ \tau & =\sqrt{(n_1{\sigma }_1{)}^2+(n_2{\sigma }_2{)}^2+(n_3{\sigma }_3{)}^2-{\sigma }^2}\\ & =\sqrt{n_1^2{n}_2^2({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+n_2^2{n}_3^2({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2+n_3^2{n}_1^2({\sigma }_3-{\sigma }_1{)}^2}.\end{array}$

O critério de falha de Mohr–Coulomb pode então ser avaliado usando a expressão usual

$\tau =\sigma \tan (\varphi )+c$

para os seis planos de tensão cisalhante máxima.

Dedução das tensões normal e cisalhante sobre um plano

Seja a normal unitária ao plano de interesse $𝐧=n_1{𝐞}_1+n_2{𝐞}_2+n_3{𝐞}_3$ onde ${𝐞}_i,i=1,2,3$ são três vetores base unitários ortonormais. Então o vetor tração sobre o plano é dada por $𝐭=n_i{\sigma }_{ij}{𝐞}_j\text{(soma sobre índices repetidos)}$ A magnitude do vetor tração é dada por $|𝐭|=\sqrt{(n_j{\sigma }_{1j}{)}^2+(n_k{\sigma }_{2k}{)}^2+(n_l{\sigma }_{3l}{)}^2}\text{(soma sobre índices repetidos)}$ Então a magnitude da tensão normal ao plano é dada por $\sigma =𝐭\cdot 𝐧=n_i{\sigma }_{ij}{n}_j\text{(soma sobre índices repetidos)}$ A magnitude da tensão cisalhante resolvida sobre o plano é dada por $\tau =\sqrt{|𝐭{|}^2-{\sigma }^2}.$ Em termos de componentes temos $\begin{array}{cc}\sigma & =n_1^2{\sigma }_{11}+n_2^2{\sigma }_{22}+n_3^2{\sigma }_{33}+2(n_1{n}_2{\sigma }_{12}+n_2{n}_3{\sigma }_{23}+n_3{n}_1{\sigma }_{31})\\ \tau & =\sqrt{(n_1{\sigma }_{11}+n_2{\sigma }_{12}+n_3{\sigma }_{31}{)}^2+(n_1{\sigma }_{12}+n_2{\sigma }_{22}+n_3{\sigma }_{23}{)}^2+(n_1{\sigma }_{31}+n_2{\sigma }_{23}+n_3{\sigma }_{33}{)}^2-{\sigma }^2}\end{array}$ Se as tensões principais ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ são alinhadas com os vetores base ${𝐞}_1,{𝐞}_2,{𝐞}_3$, então as expressões para $\sigma ,\tau$ são $\begin{array}{cc}\sigma & =n_1^2{\sigma }_1+n_2^2{\sigma }_2+n_3^2{\sigma }_3\\ \tau & =\sqrt{(n_1{\sigma }_1{)}^2+(n_2{\sigma }_2{)}^2+(n_3{\sigma }_3{)}^2-{\sigma }^2}\\ & =\sqrt{n_1^2{n}_2^2({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+n_2^2{n}_3^2({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2+n_3^2{n}_1^2({\sigma }_3-{\sigma }_1{)}^2}\end{array}$

• https://web.archive.org/web/20061008230404/http://fbe.uwe.ac.uk/public/geocal/SoilMech/basic/soilbasi.htm
• http://www.civil.usyd.edu.au/courses/civl2410/earth_pressures_rankine.doc