Exponencial de Doléans-Dade

Em cálculo estocástico, a exponencial de Doléans–Dade, exponencial de Doléans ou exponencial estocástica de um semimartingale $X$ é definida como a solução da equação diferencial estocástica $d{Y}_t=Y_{t}d{X}_t$ com condição inicial $Y_0=1$. O conceito recebe este nome em homenagem à matemática franco-americana Catherine Doléans–Dade. É às vezes denotada como $\epsilon (x)$.

Definição

No caso em que

$X$

é diferenciável, então,

$Y$

é dado pela equação diferencial

$dY/dt=YdX/dt$

, para a qual a solução é

$Y=\exp (X-X_0)$

. Alternativamente, se

$X_t=\sigma B_t+\mu t$

para um movimento browniano

$B$

, então, a exponencial de Doléans–Dade é um movimento browniano geométrico. Para qualquer semimartingale contínuo

$X$

, aplicando o lema de Itō com

$f(Y)=\log (Y)$

, tem-se que:

$\begin{array}{cc}d\log (Y)& =\frac{1}{Y}dY-\frac{1}{2Y^2}d[Y]\\ & =dX-\frac{1}{2}d[X].\end{array}$

A exponenciação dá a solução:

$Y_t=\exp (X_t-X_0-\frac{1}{2}[X{]}_t),t\ge 0.$

Isto difere do que pode ser esperado por comparação com o caso em que

$X$

é diferenciável devido à existência do termo de variação quadrática

$[X]$

na solução.

A exponencial de Doléans–Dade é útil no caso em que $X$ é um martingale local. Então, $\epsilon (x)$ também será um martingale local, enquanto a exponencial normal $\exp (x)$ não é. Isto é usado no teorema de Girsanov. Os critérios para que um martingale local contínuo $X$ garanta que sua exponencial estocástica $\epsilon (x)$ seja de fato um martingale são dados pelas condições de Kazamaki, Novikov e Beneš.

É possível aplicar o lema de Itō para semimartingales não contínuos de forma semelhante para mostrar que a exponencial de Doléans–Dade de qualquer semimartingale

$X$

é:

$Y_t=\exp (X_t-X_0-\frac{1}{2}[X{]}_t)\prod _{s\le t}(1+\mathrm{\Delta }{X}_s)\exp (-\mathrm{\Delta }{X}_s+\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }{X}_s^2),t\ge 0,$

em que o produto se estende sobre os (muitos) saltos (contáveis) de

$X$

até o tempo

$t$

.