Símbolos 6-j de Wigner

Na mecânica quântica, os símbolos 6-j de Wigner foram introduzidos por Eugene Paul Wigner em 1940 e publicado em 1965. Eles são definidos como uma soma sobre os produtos de quatro símbolos 3-j de Wigner,^[1]^[2]

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} = \sum_{m_{1}, \dots, m_{6}} (- 1)^{\sum_{k = 1}^{6} (j_{k} - m_{k})} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ - m_{1} & - m_{2} & - m_{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} j_{1} & j_{5} & j_{6} \\ m_{1} & - m_{5} & m_{6} \end{matrix}) (\begin{matrix} j_{4} & j_{2} & j_{6} \\ m_{4} & m_{2} & - m_{6} \end{matrix}) (\begin{matrix} j_{4} & j_{5} & j_{3} \\ - m_{4} & m_{5} & m_{3} \end{matrix}) .

A soma é mais de todos os seis Predefinição:Math permitidos pelas regras de seleção dos símbolos 3-J.

Eles estão intimamente relacionados com os coeficientes W de Racah,^[3] que são utilizados para reacoplamento três momentos angulares, embora símbolos 6-j de Wigner têm maior simetria e, por conseguinte, proporcionar um meio mais eficiente de armazenar os coeficientes de reacoplamento. O relacionamento deles é dado por^[4]:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{4} + j_{5}} W (j_{1} j_{2} j_{5} j_{4}; j_{3} j_{6}) .

Relações de simetria

O símbolo 6-j é invariante sob qualquer permutação das colunas^[5]:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{2} & j_{1} & j_{3} \\ j_{5} & j_{4} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{1} & j_{3} & j_{2} \\ j_{4} & j_{6} & j_{5} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{3} & j_{2} & j_{1} \\ j_{6} & j_{5} & j_{4} \end{matrix}} = \dots

O símbolo 6-j também é invariante se argumentos superiores e inferiores são trocados em duas colunas^[6]:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{4} & j_{5} & j_{3} \\ j_{1} & j_{2} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{1} & j_{5} & j_{6} \\ j_{4} & j_{2} & j_{3} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{4} & j_{2} & j_{6} \\ j_{1} & j_{5} & j_{3} \end{matrix}} .

Essas equações refletem as 24 operações de simetria do grupo automorfismo que deixam o gráfico tetraédrico de Yutsis^[7] associado com 6 extremidades invariantes: operações espelhadas que trocam dois vértices e trocam um par adjacente das extremidades.^[8]

O símbolo 6-j

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}}

é zero a menos que j₁, j₂, e j₃ satisfaçam as condições do triângulo, isto é,

j_{1} = | j_{2} - j_{3} |, \dots, j_{2} + j_{3}

Em combinação com a relação de simetria para troca de argumentos superior e inferior, isso mostra que as condições do triângulo também devem ser satisfeitas para as tríades (j₁, j₅, j₆), (j₄, j₂, j₆), e (j₄, j₅, j₃). Além disso, a soma de cada um dos elementos de uma tríade deve ser um número inteiro. Portanto, os membros de cada tríade são todos inteiros ou contêm um inteiro e dois meio inteiros.

Predefinição:Referências

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↑ Predefinição:Citar livro
↑ Predefinição:Citar periódico
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↑ Predefinição:Citar livro
↑ Predefinição:Citar livro
↑ Graph structural properties of non-Yutsis graphs allowing fast recognition por Robert E. L. Aldred et al (2007)
↑ Predefinição:Citar livro

[1] Predefinição:Citar periódico

[2] Predefinição:Citar livro

[3] Predefinição:Citar periódico

[4] Predefinição:Citar livro

[5] Predefinição:Citar livro

[6] Predefinição:Citar livro

[7] Graph structural properties of non-Yutsis graphs allowing fast recognition por Robert E. L. Aldred et al (2007)

[8] Predefinição:Citar livro

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[3]

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[5]

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[8]

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