Lagrangiana de Euler-Heisenberg

Na física, a lagrangiana de Euler-Heisenberg descreve a dinâmica não linear de campos eletromagnéticos no vácuo. Foi obtido por Werner Heisenberg e Hans Heinrich Euler em 1936. Ao tratar o vácuo como um meio, a lagrangiana prevê taxas de processos de interação de luz via eletrodinâmica quântica.

Equação

A lagrangiana de Euler-Heisenberg leva em conta polarização do vácuo para um loop, e é válida para campos eletromagnéticos que mudam lentamente em comparação com o inverso da massa do elétron:

$ℒ=-ℱ-\frac{1}{8{\pi }^2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-m^{2}s)[(es{)}^2\frac{\mathrm{Re}\cosh \left(es\sqrt{2(ℱ+i𝒢)}\right)}{\mathrm{Im}\cosh \left(es\sqrt{2(ℱ+i𝒢)}\right)}𝒢-\frac{2}{3}(es{)}^2ℱ-1]\frac{ds}{s^3}$

Aqui $m$ é a massa do elétron, $e$ a carga do elétron, $ℱ=\frac{1}{2}({𝐁}^2-{𝐄}^2)$ e $𝒢=𝐄\cdot 𝐁$.

No limite de campo fraco, isso se torna:

$ℒ=\frac{1}{2}({𝐄}^2-{𝐁}^2)+\frac{2{\alpha }^2}{45m^4}[{({𝐄}^2-{𝐁}^2)}^2+7{(𝐄\cdot 𝐁)}^2]$

Ela descreve espalhamento entre dois fótons na eletrodinâmica quântica. Robert Karplus e Maurice Neuman calcularam a amplitude total, que é muito pequena.