Potencial de Pöschl-Teller

Em física matemática, um potencial de Pöschl-Teller, em homenagem aos físicos Herta Pöschl e Edward Teller, é uma classe especial de potenciais para os quais a equação de Schrödinger unidimensional pode ser resolvida em termos de funções especiais.

Definição

Na sua forma simétrica sua definição é explicitamente dada por

$V(x)=-\frac{\lambda (\lambda +1)}{2}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}}^2(x)$

e as soluções da equação de Schrödinger independente do tempo

$-\frac{1}{2}{\psi }^{″}(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)$

com este potencial pode ser encontrado em virtude da substituição $u=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}$, que produz

$[(1-u^2){\psi }^{\prime }(u)]+\lambda (\lambda +1)\psi (u)+\frac{2E}{1-u^2}\psi (u)=0$.

Assim as soluções $\psi (u)$ (são apenas as funções de Legendre $P_{\lambda }^{\mu }(\tanh (x))$ com $E=\frac{-{\mu }^2}{2}$, e $\lambda =1,2,3\cdots$, $\mu =1,2,\cdots ,\lambda -1,\lambda$. Além disso, os autovalores e os dados de espalhamento podem ser explicitamente computados

No caso especial do inteiro $\lambda$, o potencial é sem reflexão e tais potenciais também surgem como as soluções de sóliton N da equação de Korteweg-de Vries.

A forma mais geral do potencial é dada por

$V(x)=-\frac{\lambda (\lambda +1)}{2}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}}^2(x)-\frac{\nu (\nu +1)}{2}{\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}}^2(x).$