Kampyle de Eudóxio

Um grafo da Kampyle de Eudóxio com a = 1

Kampyle de Eudóxio ou Eudoxo (em grego: Predefinição:Lang, "[linha] curvada, curva") é uma curva determinada por uma equação cartesiana:

$x^4=a^2(x^2+y^2),$

da qual a solução x = y = 0 é retirada.

Parametrizações alternativas

Nas coordenadas polares, a Kampyle possui a seguinte equação

$r=a{\sec }^2\theta .$

Analogamente, tem uma representação paramétrica como

$x=a\sec (t),y=a\tan (t)\sec (t).$

História

Esta curva quártica foi estudada pelo astrónomo e matemático grego Eudoxo de Cnido (c. 408 a.C. – c. 347 a.C.), em relação ao problema clássico da duplicação do cubo.

Propriedades

A Kampyle é simétrica em ambos os eixos: $x$ e $y$. Corta o eixo $x$ em (±a,0). Tem pontos de inflexão em

$(\pm a\frac{\sqrt{6}}{2},\pm a\frac{\sqrt{3}}{2})$

(quatro inflexões, uma em cada quadrante). A primeira metade da curva é assimptota a $x^2/a-a/2$ quando $x\to \mathrm{\infty }$, e pode ser escrita como

$y=\frac{x^2}{a}\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}=\frac{x^2}{a}-\frac{a}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{\left(\frac{a}{2x}\right)}^{2n},$

onde

$C_n=\frac{1}{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})$

é o $n$-ésimo número de Catalan.

Ver também

• Lista de curvas

• Predefinição:Citar livro

Ligações externas

• Predefinição:MacTutor Biography
• Predefinição:MathWorld