Onda de Love

As partículas vibram perpendicularmente à direção de propagação e a amplitude decai com a profundidade.

Na elastodinâmica, as ondas de Love, nomeadas em homenagem a Augustus Edward Hough Love, são ondas de superfície polarizadas horizontalmente. A onda de Love é o resultado da interferência de muitas ondas de cisalhamento (ondas S), guiadas por uma camada elástica, que é soldada a um meio espaço elástico de um lado, ao mesmo tempo que limita o vácuo do outro lado.

Em sismologia, ondas de Love (também conhecidas como ondas Q [Quer: alemão para lateral]) são ondas sísmicas superficiais que causam deslocamento horizontal da Terra durante um terremoto. Augustus E. H. Love previu matematicamente a existência desse tipo de onda em 1911.

Teoria básica

A conservação do momento linear de um material elástico linear pode ser escrita como

$\mathrm{\nabla }\cdot (𝖢:\mathrm{\nabla }𝐮)=\rho \ddot{𝐮}$

Onde $𝐮$ é o vetor de deslocamento e $𝖢$ é o tensor de rigidez. As ondas de Love são uma solução especial ($𝐮$) que satisfazem este sistema de equações. Normalmente usamos um sistema de coordenadas cartesianas ($x,y,z$) para descrever as ondas de Love.

Considere um meio elástico linear isotrópico no qual as propriedades elásticas são funções apenas da coordenada $z$, isto é, os parâmetros de Lamé e a densidade de massa podem ser expressos como $\lambda (z),\mu (z),\rho (z)$. Deslocamentos $(u,v,w)$ produzidos pelas ondas de Love em função do tempo ($t$) têm a forma

$u(x,y,z,t)=0,v(x,y,z,t)=\hat{v}(x,z,t),w(x,y,z,t)=0.$

Estas são, portanto, ondas de cisalhamento antiplano perpendiculares ao plano $(x,z)$. A função $\hat{v}(x,z,t)$ pode ser expressa como a superposição de ondas harmônicas com números de onda variáveis ($k$) e freqüências ($\omega$). Vamos considerar uma única onda harmônica, ou seja,

$\hat{v}(x,z,t)=V(k,z,\omega )\exp [i(kx-\omega t)]$

onde $i=\sqrt{-1}$. Os estresses causados por esses deslocamentos são

${\sigma }_{xx}=0,{\sigma }_{yy}=0,{\sigma }_{zz}=0,{\tau }_{zx}=0,{\tau }_{yz}=\mu (z)\frac{dV}{dz}\exp [i(kx-\omega t)],{\tau }_{xy}=ik\mu (z)V(k,z,\omega )\exp [i(kx-\omega t)].$

Se substituirmos os deslocamentos assumidos nas equações para a conservação do momento, obtemos uma equação simplificada

$\frac{d}{dz}[\mu (z)\frac{dV}{dz}]=[k^2\mu (z)-{\omega }^2\rho (z)]V(k,z,\omega ).$

As condições de contorno para uma onda de Love são que as trações de superfície na superfície livre $(z=0)$ devem ser zero.

Outro requisito é que o componente de tensão ${\tau }_{yz}$ em um meio de camada deve ser contínuo nas interfaces das camadas. Para converter a equação diferencial de segunda ordem em $V$ em duas equações de primeira ordem, expressamos este componente de tensão na forma

${\tau }_{yz}=T(k,z,\omega )\exp [i(kx-\omega t)]$

para obter a primeira ordem de conservação de equações de momentum

$\frac{d}{dz}\left[\begin{array}{c}V\\ T\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1/\mu (z)\\ k^2\mu (z)-{\omega }^2\rho (z)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}V\\ T\end{array}\right].$

As equações acima descrevem um problema de autovalor cuja solução em autofunções pode ser encontrada por um número de métodos numéricos. Outra abordagem comum e poderosa é o método da matriz propagadora (também chamado de abordagem matricial), cujo problema de autofunções pode ser encontrado para um certo número de métodos numéricos. Predefinição:Referências Predefinição:Esboço-física