Relação assimétrica

Predefinição:Ver desambig Em matemática, uma relação assimétrica é uma relação binária em um conjunto $X$ onde:

• Para todos $a$ e $b$ em $X$, se $a$ está relacionado a $b$, então $b$ não está relacionado a $a$.

Na notação matemática, isto é:

$\mathrm{\forall }a,b\in X(aRb\Rightarrow \mathrm{\neg }(bRa))$

Um exemplo é a relação "menor que" $<$ entre números reais: se $x<y$, então necessariamente $y$ não é menor que $x$. A relação "menor que ou igual" $\le$, por outro lado, não é assimétrica, porque a inversão, ex.: $x\le x$ produz $x\le x$ e ambos são verdadeiros. Em geral, qualquer relação em que $xRx$ vale para algum $x$(isto é, que não é irreflexiva) também não é assimétrica.

A assimetria não é a mesma coisa que "não simétrica": a relação menor que ou igual é um exemplo de uma relação que não é nem simétrica nem assimétrica. A relação vazia é a única relação que é (por vacuidade) tanto simétrica quanto assimétrica.

Propriedades

• Uma relação é assimétrica se e somente se for antissimétrica e irreflexiva.
• Restrições e conversas de relações assimétricas também são assimétricas. Por exemplo, a restrição de $<$ dos reais aos inteiros ainda é assimétrica, e o inverso $>$ de $<$ também é assimétrico.
• Uma relação transitiva é assimétrica se e somente se for irreflexiva: se $aRb$ e $bRa$, a transitividade dá $aRa$, contradizendo a irreflexividade.
• Como consequência, uma relação é transitiva e assimétrica se e somente se for uma ordem parcial estrita.
• Nem todas as relações assimétricas são ordens parciais estritas. Um exemplo de relação assimétrica não transitiva e até mesmo intransitiva é a relação pedra-papel-tesoura: se X vence Y, então Y não vence X; e se X vence Y e Y vence Z, então X não vence Z.
• Uma relação assimétrica não precisa ter a propriedade conectiva. Por exemplo, $⊊$ é assimétrico e nenhum dos conjuntos $\{1,2\}$ e $\{3,4\}$ é um subconjunto estrito do outro.