Raízes múltiplas

Predefinição:Sem fontes Predefinição:Sem notas Um número $\alpha \in ℂ$ é dito raiz múltipla de um polinômio $p(x)\in R[x]$, $R\subseteq ℂ$ subanel, se $(x-\alpha {)}^n$ divide $p(x)$ para algum $n\ge 2$. Se $(x-\alpha {)}^n$ divide $p(x)$ e $(x-\alpha {)}^{n+1}$ não divide, então dizemos que a multiplicidade de $\alpha$ é $n\in \mathbb{N}$.

Exemplos

Polinômio	Forma Fatorada	Raízes
$x^2+2x+1$	$(x+1{)}^2$	-1, com multiplicidade 2
$x^3-5x^2+8x-4$	$(x-2{)}^2(x-1)$	2, com multiplicidade 2 1, com multiplicidade 1
$x^2+1$	$(x-i)(x+i)$	i, com multiplicidade 1 -i, com multiplicidade 1

Nos exemplos acima, é fácil identificar as raízes e as respectivas multiplicidades dos polinômios em sua forma fatorada. Além disso, podemos determinar diversas propriedades relacionadas com a multiplicidade das raízes de um polinômio. Por exemplo, um polinômio sobre $ℝ$ que tem raízes múltiplas não é irredutível.

Um polinômio que têm raiz múltipla não é separável, por definição.

Referências

Gonçalves, A. Introdução à Álgebra.