Teorema de Jordan-Hölder

O Teorema de Jordan-Hölder é um teorema criado pelos matemáticos Otto Hölder e Camille Jordan. O teorema Jordan-Hölder afirma que dadas duas series indefinidas de composição de um determinado grupo então estas são equivalentes. Assim, eles têm o mesmo comprimento de composição e os mesmos fatores de composição, até a permutação e o isomorfismo. Camille Jordan conceituou a composição e séries principais (cf. séries principais ) para esses grupos e demonstrou que os índices de duas séries do mesmo tipo (ou seja, os índices dos subgrupos GEu no Gi + 1) são os mesmos, excetuando-se pela ordem de aparência. Já Otto Hölder provou que os fatores correspondentes são isomórficos.^[1]

Escrita Formal do Teorema

Seja G um Grupo finito. Considere duas séries de decomposição.

$1 = H_{0} ◃ H_{1} ◃ H_{2} ◃ \dots ◃ H_{k - 1} ◃ H_{k} = G$

$1 = K_{0} ◃ K_{1} ◃ K_{2} ◃ \dots ◃ K_{l - 1} ◃ K_{l} = G$

Então $k = l$ e a lista de fatores de composição é única até a permutação, ou seja, as listas ${H_{i + 1} / H_{i}}$ ${K_{j + 1} / K_{j}}$ são os mesmos, depois de reorganizar uma das listas adequadamente.

Demonstração

Tal como acontece com o teorema fundamental da aritimética, a prova procede por indução, em $∣ G ∣$ .

Para $∣ G ∣ = 1$ é trivial. Agora suponha que o teorema foi provado para todos os grupos estritamente menores que $G$ Pegue duas séries de composição $(H_{1}, H_{2} . \dots, H_{k})$ e $(K_{1}, K_{2} . \dots, K_{l})$ para $G$ . O teorema é verdadeiro para $H = H_{k - 1}$ e para $K = K_{l - 1}$ .

Se $H = K$ então nada temos a fazer, pois as séries de composição devem ser rearranjos uma da outra.

Se $H \neq K$ , seja $L = H \cap K$ .

então $L$ tem uma série de composição composta pelos grupos $L_{j}$ , pela hipótese indutiva. Então existem duas séries de composição para $H$ , aquele que envolve $H_{i}$ e a seguinte:

$1 ⊲ L_{1} ⊲ L_{2} ⊲ \dots L_{t - 1} ⊲ L_{t} ⊲ H$

(note que $L = H \cap K$ é um subgrupo máximo de $H$ , pois $H / (H \cap K) ≅ G / K$ pelo segundo teorema do isomorfismo)

Por indução, esta série de composição deve ser um rearranjo da outra:

$(H_{1} / H_{0}, H_{2} / H_{1}, \dots H / H_{k - 2}) \sim (L_{1} / L_{0}, L_{2} / L_{1}, \dots L / L_{t - 1}, H / L)$ $*$

$\sim$ significa "é o mesmo até a permutação". Note que os comprimentos sendo os mesmos implica que $t + 1 = k$

Analogamente, obtemos duas séries de composição para $K$ usando o mesmo $L_{i}$ para o segundo, isto é:

$(K_{1} / K_{0}, K_{2} / K_{1}, \dots K / K_{l - 2}) \sim (L_{1} / L_{0}, L_{2} / L_{1}, \dots L / L_{t - 1}, K / L) * *$

então $t + 1 = l$ e isso prova que $k = l$

Agora, usando $G / H$ em $*$ e $G / K$ em $* *$ , temos:

$(H_{1} / H_{0}, H_{2} / H_{1}, \dots, H / H_{k - 2}, G / H) \sim (L_{1} / L_{0}, L_{2} / L_{1}, \dots, L / L_{t - 1}, H / L, G / H)$

$(L_{1} / L_{0}, L_{2} / L_{1}, \dots, L / L_{t - 1}, K / L, G / K) \sim (H_{1} / H_{0}, H_{2} / H_{1}, \dots, H / H_{k - 2}, G / K)$

Queremos que as duas listas externas sejam as mesmas até a permutação. As duas listas internas são as mesmas, exceto pelas duas últimas entradas. Mas $(H / L, G / H)$ e $(K / L, G / K)$ são iguais a $(G / K, G / H)$ e $(G / H, G / K)$ , também pelo segundo teorema do isomorfismo.

Portanto, as duas listas internas são as mesmas até a permutação (uma transposição dos dois últimos fatores) $◼$

Exemplo de código fonte

Suponha que temos um grupo finito G = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e queremos encontrar a sua decomposição em termos de grupos simples. Para isso, podemos usar o teorema de Jordan-Hölder.

Primeiro, criamos a lista de subgrupos de G:

List<Set<Integer>> subgroups = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < G.size(); i++) {
  for (int j = i+1; j <= G.size(); j++) {
    subgroups.add(new HashSet<>(G.subList(i, j)));
  }
}

Em seguida, calculamos a série normal de subgrupos de G:

public static List<Group> getNormalSeries(Group G, List<Group> subgroups) {
    List<Group> normalSeries = new ArrayList<Group>();

    // Inclui o grupo G como o primeiro termo da série normal
    normalSeries.add(G);

    // Se o grupo G é trivial, a série normal consiste apenas do grupo trivial
    if (G.isTrivial()) {
        return normalSeries;
    }

    // Para cada subgrupo H em subgroups, encontra o maior subgrupo normal K de G que contém H
    for (Group H : subgroups) {
        Group K = G.getLargestNormalSubgroupContaining(H);
        if (K.isTrivial()) {
            continue;
        }
        // Recursivamente chama getNormalSeries com o grupo K e subgroups - H para obter a série normal de K
        List<Group> normalSeriesOfK = getNormalSeries(K, subtractSubgroup(subgroups, H));
        // Adiciona os grupos da série normal de K à série normal de G
        for (Group N : normalSeriesOfK) {
            if (!normalSeries.contains(N)) {
                normalSeries.add(N);
            }
        }
    }

    return normalSeries;
}

Por fim, usamos a série normal para encontrar a decomposição de G em termos de grupos simples:

public static List<Group> getSimpleFactors(List<Group> normalSeries) {
    List<Group> simpleFactors = new ArrayList<>();
    for (Group group : normalSeries) {
        if (group.isSimple()) {
            simpleFactors.add(group);
        }
    }
    return simpleFactors;
}