Modelo de viga de Timoshenko-Ehrenfest

O modelo de viga de Timoshenko-Ehrenfest foi desenvolvido por Stephen Timoshenko e Paul Ehrenfest no início do século XX. O modelo leva em consideração a deformação por cisalhamento e os efeitos rotacionais da flexão, tornando-o adequado para descrever o comportamento de vigas espessas, vigas compostas em sanduíche ou vigas sujeitas a excitação de alta frequência quando o comprimento de onda se aproxima da espessura da viga. Analogamente à teoria dos feixes de Euler-Bernoulli, a equação resultante é de 4ª ordem, mas uma derivada parcial de segunda ordem é presente. Fisicamente, os graus de liberdade extras no modelo reduzem a rigidez calculada para o corpo, resultando em maiores deflexões sob cargas estáticas e menores frequências naturais. O último efeito é mais perceptível para frequências mais altas à medida que o comprimento de onda se torna menor (em princípio comparável à altura do feixe ou menor) e, portanto, a distância entre as forças de cisalhamento opostas diminui.

O efeito da inércia rotativa foi primeiramente estudado por Jacques Bresse e Rayleigh.

Se o módulo de cisalhamento do material tende a infinito (material rígido ao cisalhamento, deformações cisalhantes tendem a zero) e se os efeitos da inércia rotacional são desprezíveis, o modelo de Timoshenko converge ao modelo de viga de Euler-Bernoulli.

Modelo quasiestático

Deformação de uma viga de Timoshenko (azul) comparada a uma viga de Euler-Bernoulli (vermelho).

Deformação de um raio de Timoshenko. O normal gira em uma quantidade ${\theta }_x=\phi (x)$ que não é igual a $dw/dx$ .

No modelo estático de viga de Timoshenko sem efeitos axiais, os deslocamentos de cada ponto do corpo de coordenadas $(x,y,z)$ são dados por:

$u_x(x,y,z)=-z\phi (x);u_y(x,y,z)=0;u_z(x,y,z)=w(x)$

onde $u_x,u_y,u_z$ são as componentes do vetor de deslocamento, $\phi$ é o ângulo de rotação da seção transversal da viga em relação à normal da curva neutra, e $w$ é o deslocamento da curva neutra na direção $z$.

Com essas hipóteses, a deformação da viga é descrita por duas equações diferenciais ordinárias:

$\begin{array}{cc}& \frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\left(EI\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}x}\right)=q(x)\\ & \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x}=\phi -\frac{1}{\kappa AG}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(EI\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}x}\right).\end{array}$

onde

• $A$ é a área da seção transversal;
• $E$ é o módulo de Young;
• $G$ é o módulo de cisalhamento;
• $I$ é o segundo momento de área;
• $\kappa$, chamado de coeficiente de Timoshenko, depende da geometria da viga;
• $q(x)$ é a carga distribuída (força por comprimento).

Modelo dinâmico

No modelo dinâmico de viga de Timoshenko sem efeitos axiais, os deslocamentos de cada ponto do corpo de coordenadas $(x,y,z)$ são dados por

$u_x(x,y,z,t)=-z\phi (x,t);u_y(x,y,z,t)=0;u_z(x,y,z,t)=w(x,t)$

onde $u_x,u_y,u_z$ são as componentes do vetor de deslocamento, $\phi$ é o ângulo de rotação da seção transversal da viga em relação à normal da curva neutra, e $w$ é o deslocamento da curva neutra na direção $z$.

Partindo dessas hipóteses, o movimento da viga pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais:

$\rho A\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}-q(x,t)=\frac{\partial }{\partial x}\left[\kappa AG(\frac{\partial w}{\partial x}-\phi )\right]$

$\rho I\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(EI\frac{\partial \phi }{\partial x}\right)+\kappa AG(\frac{\partial w}{\partial x}-\phi )$

onde

• $\rho$ é a densidade do material (mas não a densidade linear);
• $A$ é a área da seção transversal;
• $E$ é o módulo de Young;
• $G$ é o módulo de cisalhamento;
• $I$ é o segundo momento de área;
• $\kappa$, chamado de coeficiente de Timoshenko, depende da geometria da viga;
• $q(x,t)$ é a carga distribuída (força por comprimento).