Lei de Chandrasekhar–Wentzel

Predefinição:Técnico No Cálculo Vetorial, a Lei de Chandrasekhar–Wentzel foi derivada por Subrahmanyan Chandrasekhar e Gregor Wentzel em 1965 enquanto estudavam a estabilidade de uma gota de um líquido em rotação.

A equação de estado onde $S$ é uma superfície delimitada por um contorno simples fechado $C$ é:

$L=\underset{C}{\overset{}{\oint }}x\times (dx\times \overrightarrow{n})=-\underset{S}{\overset{}{\int }}(x\times \overrightarrow{n})\mathrm{\nabla }.\overrightarrow{n}dS$.

Onde $x$ é o vetor posição e $\overrightarrow{n}$ é o vetor normal unitário relativo a superfície analisada.

Uma consequência imediata ao se resolver tal integral é que, como a superfície $S$ é fechada, a integral de linha resultante tende a $0$, levando ao resultado,

$\underset{S}{\overset{}{\int }}(x\times \overrightarrow{n})\mathrm{\nabla }.\overrightarrow{n}dS=0$

ou, na notação de índices, nós temos:

$\underset{S}{\int }{x}_j\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{n}d{S}_k=\underset{S}{\int }{x}_k\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{n}d{S}_j$.

O que indica que o tensor

$T_{ij}=\underset{S}{\int }{x}_j\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{n}d{S}_i$

definido em uma superfície fechada é sempre simétrico, ou seja, $T_{ij}=T_{ji}$.

Demonstração

Escrevendo os vetores através na notação por índices, mas evitando a notação de Einstein na demonstração e tomando a integral de linha pelo sentido anti-horário, pode-se escrever

$L_i=\underset{C}{\int }[d{x}_i(n_i{x}_j+n_k{x}_k)+d{x}_j(-n_i{x}_j)+d{x}_k(-n_i{x}_k)]$.

Convertendo a integral de linha da superfície usando o teorema de Stokes, obtêm-se

$L_i=\underset{S}{\int }\{n_i[\frac{\partial }{\partial x_j}(-n_i{x}_k)-\frac{\partial }{\partial x_k}(-n_i{x}_j)]+n_j[\frac{\partial }{\partial x_k}(n_j{x}_j+n_k{x}_k)-\frac{\partial }{\partial x_i}(-n_i{x}_k)]+n_k[\frac{\partial }{\partial x_i}(-n_i{x}_j)-\frac{\partial }{\partial x_j}(n_j{x}_j+n_k{x}_k)]\}dS$

Fazendo algumas diferenciações necessárias e algumas manipulações matemáticas obtemos

$L_i=\underset{S}{\int }[-\frac{1}{2}{x}_k\frac{\partial }{\partial x_j}({n_i}^2+{n_k}^2)+\frac{1}{2}{x}_j\frac{\partial }{\partial x_k}({n_i}^2+{n_j}^2)+n_j{x}_k(\frac{\partial n_i}{\partial x_i}+\frac{\partial n_k}{\partial x_k})-n_k{x}_j(\frac{\partial n_i}{\partial x_i}+\frac{\partial n_j}{\partial x_j})]dS$

Que, em outras palavras,

$L_i=\underset{S}{\int }[\frac{1}{2}(x_j\frac{\partial }{\partial x_k}-x_k\frac{\partial }{\partial x_j})|\overrightarrow{n}{|}^2-(x_j{n}_k-x_k{n}_j)\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{n}]dS$.

E, desde que $|\overrightarrow{n}{|}^2=1$, nós temos

$L_i=-\underset{S}{\overset{}{\int }}(x_j{n}_k-x_k{n}_j)\mathrm{\nabla }.\overrightarrow{n}dS$

provando o teorema.