Serie discreta regressiva de Fourier

Predefinição:Sem notas Na matemática aplicada, a série regressiva discreta de Fourier (RDFS) é uma generalização da transformada discreta de Fourier, onde os coeficientes da série de Fourier são calculados em um sentido de mínimos quadrados e o período é arbitrário, ou seja, não necessariamente igual ao comprimento dos dados. Foi proposto pela primeira vez por Arruda (1992a, 1992b). Ele pode ser usado para suavizar dados em uma ou mais dimensões e calcular derivados da curva suavizada, superfície ou hipersuperfície .

Técnica

Série de Fourier regressiva unidimensional regressiva (RDFS)

O RDFS unidimensional proposto por Arruda (1992a) pode ser formulado de forma bastante direta. Dado um vetor de dados amostrados ( sinal ) $x_n=x(t_n)$, pode-se escrever a expressão algébrica:

$x_n=\sum _{k=-q}^q{X}_k{e}^{\frac{-i2\pi k{t}_n}{T}}+{\epsilon }_n,t_n\text{ arbitrary },n=1,\dots ,N.$

Tipicamente $t_n=n\mathrm{\Delta }t$, mas isso não é necessário.

A equação acima pode ser escrita em forma de matriz como

$WX=x+\epsilon .$

A solução de mínimos quadrados do sistema linear de equações acima pode ser escrita como:

$\hat{X}=(W^{H}W{)}^{-1}{W}^{H}x$

Onde $X^H$ é a transposta conjugada de $X$, e o sinal suavizado é obtido de:

$\hat{x}=W\hat{X}$

A primeira derivada do sinal suavizado $\hat{x}$ pode ser obtido em:

$\frac{dx}{dt}(t_n)=\sum _{k=-q}^q\frac{-i2\pi k}{T}{X}_k{e}^{\frac{-i2\pi k{t}_n}{T}},n=1,\dots ,N.$

Série de Fourier regressiva bidimensional regressiva (RDFS)

O RDFS bidimensional ou bidimensional proposto por Arruda (1992b) também pode ser formulado de maneira direta. Aqui, o caso de dados igualmente espaçados será tratado por uma questão de simplicidade. Os casos gerais de grade não igualmente espaçadas e arbitrárias são dados na referência (Arruda, 1992b). Dada uma matriz de dados amostrados ( sinal bidimensional) $x_{mn}=x({\xi }_m,{\nu }_n),m=1,\dots ,M;n=1,\dots ,N;$ pode-se escrever a expressão algébrica:

$x_{mn}=\sum _{k=-p}^p\sum _{l=-q}^q{X}_{kl}{e}^{\frac{-i2\pi k{\xi }_m}{L_{\xi }}}{e}^{\frac{-i2\pi l{\nu }_n}{L_{\nu }}}+{\epsilon }_{mn},m=1,\dots ,M;n=1,\dots ,N.$

A equação acima pode ser escrita em forma de matriz para uma grade retangular. Para o caso de amostragem igualmente espaçado : ${\xi }_m=m\mathrm{\Delta }\xi ,{\nu }_n=n\mathrm{\Delta }\nu$ temos:

$x_{mn}=\sum _{k=-p}^p\sum _{l=-q}^q{X}_{kl}{e}^{\frac{-i2\pi k{\xi }_m}{L_{\xi }}}{e}^{\frac{-i2\pi l{\nu }_n}{L_{\nu }}}+{ϵ}_{mn},m=1,\dots ,M;n=1,\dots ,N.$

A solução dos mínimos quadrados pode ser mostrada como:

$\hat{X}=(W_{L_{\xi }}^H{W}_{L_{\xi }}{)}^{-1}{W}_{L_{\xi }}^{H}x{W}_{L_{\nu }}^{*}(W_{L_{\nu }}{W}_{L_{\nu }}^H{)}^{-1}$

e a superfície bidimensional suavizada é dada por:

$\hat{x}=W_{L_{\xi }}\hat{X}{W}_{L_{\nu }}^t$

Onde $X^H$ é o conjugado, e $X^t$ é a transposição de $X$ .

Diferenciação em relação a $\xi \text{ and }\nu$ pode ser facilmente implementado de forma análoga ao caso unidimensional (Arruda, 1992b).

Aplicações

• Aplicações de condensação de dados espacialmente densos : Arruda, JRF [1993] aplicou o RDFS para condensar medições espaciais espacialmente densas feitas com um vibrômetro Doppler a laser antes de aplicar métodos de estimativa de parâmetros de análise modal . Mais recentemente, Vanherzeele et al. (2006,2008a) propôs um RDFS generalizado e um RDFS otimizado para o mesmo tipo de aplicação. Uma revisão do processamento de medição óptica usando o RDFS foi publicada por Vanherzeele et al. (2009).
• Aplicações de derivados espaciais : Batista et al. [2009] aplicaram RDFS para obter derivados espaciais de dados de vibração bidimensionais medidos para identificar propriedades de materiais de modos transversais de placas retangulares.
• Aplicações SHM : Vanherzeele et al. [2009] aplicaram uma versão generalizada do RDFS à reconstrução tomográfica .

Programas

Recentemente, um pacote que inclui RDFS unidimensional e bidimensional foi desenvolvido para facilitar seu uso no software livre e de código aberto R:

• Pacote AR para RDFS no Github

Veja também

• Transformada discreta de Fourier
• Séries de Fourier

Referências

• Arruda, JRF, 1992a: Análise de dados não igualmente espaçados usando uma série discreta Regressiva de Fourier. Journal of Sound and Vibration, 156 (3), 571–574.
• Arruda, JRF, 1992b: Suavização de superfície e derivadas espaciais parciais usando uma série discreta de Fourier regressiva. Mechanical Systems and Signal Processing, 6 (1), 41–50.
• Arruda, JRF, 1993: Análise modal de domínio espacial de estruturas levemente amortecidas usando velocímetros de laser. Journal of Vibration and Acoustics, 115, 225-231.
• Batista, FB, Albuquerque, EL, Arruda, JRF, Dias Jr., M., 2009: Identificação da rigidez à flexão de laminados simétricos usando séries discretas de Fourier regressivas e diferenças finitas. Journal of Sound and Vibration, 320, 793–807.
• Vanherzeele, J., Guillaume, P., Vanlanduit, S., Verboten, P., 2006: Redução de dados usando uma série discreta de Fourier regressiva generalizada, Journal of Sound and Vibration, 298, 1-11.
• Vanherzeele, J., Vanlanduit, S., Guillaume, P., 2008a: Reduzindo dados espaciais usando uma série de Fourier discreta regressiva otimizada, Journal of Sound and Vibration, 309, 858-867.
• Vanherzeele, J., Longo, R., Vanlanduit, S., Guillaume, P., 2008b: Tomografia reconstrução utilizando um generalizadas séries de Fourier discretos regressivas, sistemas mecânicos e Processamento de Sinal, 22, 1237 – 1247.
• Vanherzeele, J., Vanlanduit, S., Guillaume, P., 2009: Processamento de medidas ópticas usando uma série discreta de Fourier regressiva, Optical and lasers in engineering, 47, 461-472.