Triângulo de Fuhrmann

Triângulo de Fuhrmann (vermelho): $\mathrm{△}{M}_c^{\prime }{M}_b^{\prime }{M}_a^{\prime }$
pontos da metade de arco: $M_a,M_b,M_c$

Triângulo de Fuhrmann (vermelho): $\mathrm{△}{M}_c^{\prime }{M}_b^{\prime }{M}_a^{\prime }$
$\mathrm{△}{M}_c^{\prime }{M}_b^{\prime }{M}_a^{\prime }\sim \mathrm{△}{M}_a{M}_b{M}_c$

O triângulo de Fuhrmann, denominado em memória de Wilhelm Fuhrmann (1833–1904), é um triângulo especial baseado sobre um triângulo arbitrário.

Para um dado triângulo $\mathrm{△}ABC$ e seu circuncírculo (circunferência circunscrita) os pontos médios dos arcos sobre os lados do triângulo são denotados por $M_a,M_b,M_c$. Estes pontos médios são refletidos no lado associado do triângulo gerando os pontos $M_a^{\prime },M_b^{\prime },M_c^{\prime }$, que formam o triângulo de Fuhrmann.

O circuncírculo do triângulo de Fuhrmann é o círculo de Fuhrmann. Também, o triângulo de Furhmann é similar ao triângulo formado pelos pontos médios dos arcos, isto é $\mathrm{△}{M}_c^{\prime }{M}_b^{\prime }{M}_a^{\prime }\sim \mathrm{△}{M}_a{M}_b{M}_c$. Para a área dos triângulo de Fuhrmann é satisfeita a fórmula

$|\mathrm{△}{M}_c^{\prime }{M}_b^{\prime }{M}_a^{\prime }|=\frac{(a+b+c)|OI{|}^2}{4R}=\frac{(a+b+c)(R-2r)}{4},$

onde $O$ denota o circuncentro do dado triângulo $\mathrm{△}ABC$ e $R$ seu raio, com $I$ denotando o incentro e $r$ seu radio. Pelo teorema geométrico de Euler resulta $|OI{|}^2=R(R-2r)$. As seguintes equações são verificadas para os lados do triângulo de Fuhrmann,

$a^{\prime }=\sqrt{\frac{(-a+b+c)(a+b+c)}{bc}}|OI|$

$b^{\prime }=\sqrt{\frac{(a-b+c)(a+b+c)}{ac}}|OI|$

$c^{\prime }=\sqrt{\frac{(a+b-c)(a+b+c)}{ab}}|OI|,$

onde $a,b,c$ denotam os lados do dado triângulo $\mathrm{△}ABC$ e $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$ os lados do triângulo de Fuhrmann (ver figura).