Canal de eliminação binária

O modelo de canal para o canal de eliminação binária mostrando um mapeamento da entrada do canal X para a saída do canal Y (com o símbolo de eliminação conhecido ? ). A probabilidade de apagamento é $p_e$

Em teoria da codificação e teoria da informação, um canal de eliminação binária (BEC) é um modelo de canal de comunicação. Um transmissor envia um bit (zero ou um) e o receptor recebe o bit corretamente ou, com alguma probabilidade $P_e$, recebe uma mensagem de que o bit não foi recebido ("apagado").

Definição

Um canal de eliminação binária com probabilidade de eliminação $P_e$ é um canal com entrada binária, saída ternária e probabilidade de eliminação $P_e$. Ou seja, seja $X$ a variável aleatória transmitida com o alfabeto $\{0,1\}$. Seja $Y$ a variável recebida com o alfabeto $\{0,1,\text{e}\}$, onde $\text{e}$ é o símbolo de apagamento. Então, o canal é caracterizado pelas probabilidades condicionais:Predefinição:Sfnp

$\begin{array}{cc}\mathrm{Pr}[Y=0|X=0]& =1-P_e\\ \mathrm{Pr}[Y=0|X=1]& =0\\ \mathrm{Pr}[Y=1|X=0]& =0\\ \mathrm{Pr}[Y=1|X=1]& =1-P_e\\ \mathrm{Pr}[Y=e|X=0]& =P_e\\ \mathrm{Pr}[Y=e|X=1]& =P_e\end{array}$

Capacidade

A capacidade de canal de um BEC é $1-P_e$, obtida com uma distribuição uniforme para $X$ (ou seja, metade das entradas deve ser 0 e metade deve ser 1).Predefinição:Sfnp

ComprovaçãoPredefinição:Sfnp

Por simetria dos valores de entrada, a distribuição ideal de entrada é $X\sim \mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\left(\frac{1}{2}\right)$. A capacidade do canal é: $\mathrm{I}(X;Y)=\mathrm{H}(X)-\mathrm{H}(X|Y)$ Observe que, para a função de entropia binária ${\mathrm{H}}_{\text{b}}$ (que tem valor 1 para entrada $\frac{1}{2}$), $\mathrm{H}(X|Y)=\sum _{y}P(y)\mathrm{H}(X|y)=P_e{\mathrm{H}}_{\text{b}}\left(\frac{1}{2}\right)=P_e$ como $X$ é conhecido de (e igual à) y a menos que $y=e$, que tem probabilidade $P_e$. Por definição $\mathrm{H}(X)={\mathrm{H}}_{\text{b}}\left(\frac{1}{2}\right)=1$, então $\mathrm{I}(X;Y)=1-P_e$.

Se o remetente for notificado quando um bit for apagado, ele poderá transmitir cada bit repetidamente até que seja recebido corretamente, atingindo a capacidade $1-P_e$. No entanto, pelo teorema de codificação de canal ruidoso, a capacidade de $1-P_e$ pode ser obtida mesmo sem tal feedback.Predefinição:Sfnp

Canais relacionados

Se os bits forem invertidos em vez de apagados, o canal é um canal binário simétrico (BSC), que tem capacidade $1-{\mathrm{H}}_{\text{b}}(P_e)$ (para a [ [função de entropia binária]] ${\mathrm{H}}_{\text{b}}$), que é menor que a capacidade do BEC para $0<P_e<1/2$ .Predefinição:SfnpPredefinição:Sfnp Se os bits são apagados, mas o receptor não é notificado (ou seja, não recebe a saída $e$), então o canal é um canal de exclusão e sua capacidade é um problema aberto.Predefinição:Sfnp

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