Ponto de Gergonne

O ponto de Gergonne de um triângulo é um ponto notável no interior de um triângulo. A denominação é um reconhecimento ao matemático francês Joseph Diez Gergonne.

Círculo inscrito

O círculo inscrito do triângulo $ABC$ tem centro $M$ e toca os lados do triângulo nos pontos $X$, $Y$ e $Z$. Gergonne mostrou que as linhas de conexão entre estes pontos de contato e o vértice oposto do triângulo cruzam-se em um ponto, o ponto de Gergonne $G$.

Que essas linhas se cruzam em um ponto segue-se de $\overline{AZ}=\overline{AY}$, etc., e do teorema de Ceva.

Propriedades

• O ponto de Gergonne encontra-se em uma linha reta com o centro de gravidade e o ponto médio (nesta ordem).
• O ponto de Gergonne e o ponto de Nagel são conjugados isotômicos.

Coordenadas

Gergonne-Punkt ($X_7$)
Coordenadas trilineares	$\frac{bc}{b+c-a}:\frac{ca}{c+a-b}:\frac{ab}{a+b-c}$ $={\sec }^2\frac{\alpha }{2}:{\sec }^2\frac{\beta }{2}:{\sec }^2\frac{\gamma }{2}$
Coordenadas baricêntricas	$\frac{1}{b+c-a}:\frac{1}{c+a-b}:\frac{1}{a+b-c}$

Ver também

• Círculos inscrito e exinscrito em um triângulo

Bibliografia

• Peter Baptist: Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. In: Sudhoffs Archiv, 71, 1987, 2, p. 230–233

Ligações externas

• Predefinição:MathWorld