Teorema da circulação de Kelvin

Na mecânica dos fluidos, o teorema da circulação de Kelvin (em homenagem a William Thomson, 1º Barão Kelvin, que o publicou em 1869) afirma que em um fluido barotrópico ideal com forças de corpo conservativas, a circulação em torno de uma curva fechada é constante com o tempo . Matematicante, isso significa que:

$\frac{\mathrm{D}\mathrm{\Gamma }}{\mathrm{D}t}=0$

Onde $\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}=0$ é a derivada convectiva,, $\mathrm{\Gamma }$ é a circulação em torno de um contorno de material $C(t)$ . Esse teorema diz que se alguém observar um contorno fechado em um instante, e seguir o contorno ao longo do tempo, a circulação em outro instante de tempo permanece a mesma. Além disso, outra conclusão importante é que, valendo o teorema de Kelvin, se um fluido é irrotacional em t=0, segue irrotacional para t>0.

Este teorema não é válido em casos com tensões viscosas, forças não conservativas ou quando não temos um fluido barotrópico.

Prova

  A circulação $\mathrm{\Gamma }$ em torno de um contorno de material fechado $C(t)$ é definida por:

$\mathrm{\Gamma }(t)={\oint }_C𝒖\cdot \mathrm{d}𝒔$

onde u é o vetor velocidade e ds é um elemento de linha longo do contorno fechado. A equação para um fluido invíscido com uma força conservativa é

$\frac{\mathrm{D}𝒖}{\mathrm{D}t}=-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p+\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }$

onde ρ é a densidade do fluido, p é a pressão e Φ é o potencial da força conservativa. Essa é a equação de Euler.

A condição de fluido barotrópico implica que a densidade é uma função apenas da pressão, ou seja, $\rho =\rho (p)$ .

Tomando o derivada convectiva da circulação, temos:

$\frac{\mathrm{D}\mathrm{\Gamma }}{\mathrm{D}t}={\oint }_C\frac{\mathrm{D}𝒖}{\mathrm{D}t}\cdot \mathrm{d}𝒔+{\oint }_C𝒖\cdot \frac{\mathrm{D}\mathrm{d}𝒔}{\mathrm{D}t}.$

No primeiro termo, podemos aplicar o Teorema de Stokes, de forma que:

${\oint }_C\frac{\mathrm{D}𝒖}{\mathrm{D}t}\cdot \mathrm{d}𝒔=\underset{A}{\int }\mathrm{\nabla }\times (-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p+\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi })\cdot 𝒅𝒔=0.$

Como o fluido é barotrópico, $\rho$ é uma constante. Também usamos o fato de que $\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }f=0$ para qualquer função $f$.

Para o segundo termo, temos que:

$\frac{D}{Dt}\left(𝒅𝒔\right)=d𝒖$

Portanto:

${\oint }_C𝒖\cdot \frac{\mathrm{D}\mathrm{d}𝒔}{\mathrm{D}t}={\oint }_C𝒖\cdot \left(\mathrm{d}𝒖\right)={\oint }_C\mathrm{d}\left(\frac{{𝒖}^2}{2}\right)=0.$

Como ambos os termos são zero, obtemos o resultado:

$\frac{\mathrm{D}\mathrm{\Gamma }}{\mathrm{D}t}=0.$

Teorema da circulação de Poincaré-Bjerknes

Um resultado semelhante pode ser obtido quando temos um sistema de coordenadas em rotação, conhecido como teorema de Poincaré-Bjerknes, em homenagem a Henri Poincaré e Vilhelm Bjerknes, que derivou o invariante em 1893 e 1898. O teorema pode ser aplicado a um referencial que está em rotação a uma velocidade angular constante dada pelo vetor $\mathrm{\Omega }$, para a circulação modificada:

$\mathrm{\Gamma }(t)={\oint }_C(𝒖+\mathrm{\Omega }\times 𝒓)\cdot \mathrm{d}𝒔$

Onde $𝒓$ é a posição da área do fluido. Pelo teorema de Stokes, temos:

$\mathrm{\Gamma }(t)=\underset{A}{\int }\mathrm{\nabla }\times (𝒖+\mathrm{\Omega }\times 𝒓)\cdot 𝒏\mathrm{d}S=\underset{A}{\int }(\mathrm{\nabla }\times 𝒖+2\mathrm{\Omega })\cdot 𝒏\mathrm{d}S$

A Vorticidade de um campo de velocidade na dinâmica dos fluidos é definida por:

$\mathit{\omega }=\mathrm{\nabla }\times 𝒖$

Então:

$\mathrm{\Gamma }(t)=\underset{A}{\int }(\mathit{\omega }+2\mathrm{\Omega })\cdot 𝒏\mathrm{d}S$

Veja também

• Princípio de Bernoulli
• Equações de Euler (dinâmica de fluidos)
• Teoremas de Helmholtz
• Convecção termomagnética