Desigualdade de Aristarco

A Desigualdade de Aristarco é uma lei da trigonometria que afirma que se α e β são ângulos agudos (ou seja, entre 0 e um ângulo reto) e "β < α" então

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }<\frac{\alpha }{\beta }<\frac{\tan \alpha }{\tan \beta }.$

Essa lei leva esse nome em homenagem ao matemático grego Aristarco de Samos, que fez tal afirmação.

Ptolomeu usou a primeira dessas desigualdades ao construir sua tabela de acordes.

Prova

A prova matemática dessa lei é consequência das desigualdades mais conhecidas , e $0<\sin (\alpha )<\alpha <\tan (\alpha )$, $0<\sin (\beta )<\sin (\alpha )<1$ and $1>\cos (\beta )>\cos (\alpha )>0$.

Prova da primeira desigualdade

Usando essas desigualdades, podemos primeiro provar que

$\frac{\sin (\alpha )}{\sin (\beta )}<\frac{\alpha }{\beta }.$

Notamos primeiro que a desigualdade é equivalente a $\frac{\sin (\alpha )}{\alpha }<\frac{\sin (\beta )}{\beta }$ que pode ser reescrito como $\frac{\sin (\alpha )-\sin (\beta )}{\alpha -\beta }<\frac{\sin (\beta )}{\beta }.$

Agora queremos mostrar isso

$\frac{\sin (\alpha )-\sin (\beta )}{\alpha -\beta }<\cos (\beta )<\frac{\sin (\beta )}{\beta }.$

A segunda desigualdade é simplesmente $\beta <\tan \beta$. O primeiro é verdadeiro porque

$\frac{\sin (\alpha )-\sin (\beta )}{\alpha -\beta }=\frac{2\cdot \sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)}{\alpha -\beta }<\frac{2\cdot \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)\cdot \cos (\beta )}{\alpha -\beta }=\cos (\beta ).$

Prova da segunda desigualdade

Agora queremos mostrar a segunda desigualdade, ou seja, que:

$\frac{\alpha }{\beta }<\frac{\tan (\alpha )}{\tan (\beta )}.$

Notamos primeiro que, devido às desigualdades iniciais, temos que:

$\beta <\tan (\beta )=\frac{\sin (\beta )}{\cos (\beta )}<\frac{\sin (\beta )}{\cos (\alpha )}$

Consequentemente, usando aquele $0<\alpha -\beta <\alpha$ na equação anterior (substituindo $\beta$ por $\alpha -\beta <\alpha$) obtemos:

$\alpha -\beta <\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos (\alpha )}=\tan (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\beta ).$

Concluimos que

$\frac{\alpha }{\beta }=\frac{\alpha -\beta }{\beta }+1<\frac{\tan (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\beta )}{\sin (\beta )}+1=\frac{\tan (\alpha )}{\tan (\beta )}.$

Ligações externas

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