Teoria de Newton-Cartan

A teoria Newton-Cartan (ou gravitação newtoniana geometrizada) é uma reformulação geométrica, bem como uma generalização, da gravidade newtoniana introduzida pela primeira vez por Élie Cartan e Kurt Friedrichs e posteriormente desenvolvida por Dautcourt, Dixon, Dombrowski e Horneffer, Ehlers, Havas, Künzle,  Lottermoser, Trautman, e outros. Nesta reformulação, as semelhanças estruturais entre a teoria de Newton e a teoria geral da relatividade de Albert Einstein são facilmente vistos, e foi usado por Cartan e Friedrichs para dar uma formulação rigorosa da maneira pela qual a gravidade newtoniana pode ser vista como um limite específico da relatividade geral, e por Jürgen Ehlers para estender essa correspondência a soluções específicas da relatividade geral.

O interessante do método Newton-Cartan é mostrar como muitos dos conceitos normalmente associados à teoria geral da relatividade, como curvatura do espaço-tempo, ou a visão do movimento em queda livre como uma trajetória geodésica, já estão presentes em potencial na gravitação de Newton. O método NC traz outra roupagem matemática para essa mesma velha teoria, revelando aqueles conceitos.

Já a teoria geral da relatividade introduz a noção de métrica lorentziana, e é esta sua grande diferença em relação à teoria clássica de gravitação.

A representação usual da lei da gravidade de Newton é:

$𝐅=-\frac{GM{m}_g\widehat{𝐫}}{r^2}$

Aplicando sua segunda lei:

$𝐅=m_i\frac{d^2𝐫}{d{t}^2}$,

e usando a constatação experimental de que a massa gravitacional é igual à massa inercial:

$\frac{d^2𝐫}{d{t}^2}=-\frac{GM\widehat{𝐫}}{r^2}$

O lado direito pode ser expresso como o gradiente de uma função escalar:

$\frac{GM\widehat{𝐫}}{r^2}=\mathrm{\nabla }\varphi$,

onde $\varphi =-\frac{GM}{r}$

A igualdade vetorial pressupõe igualdade para cada um dos componentes x, y e z. Passando além disso todos os termos para o lado esquerdo:

$\frac{d^2{X}^j}{d{t}^2}+\frac{\partial \varphi }{\partial X^j}=0$

Podemos expressar o tempo como uma função linear de um parâmetro $\lambda$ já que tanto a origem como a unidade de medida (ano, hora, minuto segundo) são arbitrárias:

$t=a\lambda +b$

A equação se torna:

$\frac{d^2{X}^j}{d{\lambda }^2}+\frac{\partial \varphi }{\partial X^j}\left(\frac{\partial t}{\partial \lambda }\right)\left(\frac{\partial t}{\partial \lambda }\right)=0$

Podemos reconhecer aqui a equação da geodésica, onde as únicas conexões não nulas são:

${\mathrm{\Gamma }}_{tt}^j=\frac{\partial \varphi }{\partial X^j}$

O movimento em queda livre sob a ação de um campo gravitacional, descrito pela lei Newtoniana de gravitação, é reinterpretado como uma trajetória geodésica num espaço-tempo de 4 dimensões. Pode-se mostrar ainda que o tensor de curvatura, calculado a partir das conexões, não é nulo. Portanto esse espaço tempo é curvo.

Elevador Bargmann

Foi demonstrado que a teoria da gravitação de Newton-Cartan de quatro dimensões pode ser reformulada como redução de Kaluza-Klein da gravidade de Einstein de cinco dimensões ao longo de uma direção nula. Este levantamento é considerado útil para modelos holográficos não relativísticos.

Bibliografia

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• Predefinição:Citation (English translation of Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. #40 paper)
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