Série convexa

Uma série convexa, em matemática, particularmente em análise funcional e análise convexa, é uma série da forma $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{r}_i{x}_i$ onde $x_1,x_2,\dots$ são todos elementos de um espaço vetorial topológico $X$,e todos $r_1,r_2,\dots$ são números reais não negativos que somam $1$ (isto é, tal que $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{r}_i=1$).

Tipos de série convexa

Suponha que $S$ é um subconjunto de $X$ e $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{r}_i{x}_i$ é uma série convexa em $X.$

• Se todos $x_1,x_2,\dots$ pertencem a $S$ então a série convexa$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{r}_i{x}_i$ é chamada de série convexa com elementos de $S$.
• Se o conjunto $\{x_1,x_2,\dots \}$ é um conjunto limitado (von Neumann) então a série chamada de série b-convexa.
• A série convexa $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{r}_i{x}_i$ é dito ser uma série convergente se a seqüência de somas parciais${\left(\sum _{i=1}^n{r}_i{x}_i\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ converge em $X$ a algum elemento de $X,$ que é chamado de soma da série convexa.
• A série convexa é chamada Cauchy se $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{r}_i{x}_i$ é uma série Cauchy, que por definição significa que a sequência de somas parciais ${\left(\sum _{i=1}^n{r}_i{x}_i\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ é uma sequência de Cauchy.