Estatística Gelman-Rubin

A estatística Gelman-Rubin permite fazer afirmações sobre a convergência das simulações de Monte Carlo.

Definição

$J$ Simulações de Monte Carlo (cadeias) são iniciadas com valores iniciais diferentes. As amostras das respectivas fases de queima são descartadas. Das amostras $x_1^{(j)},\dots ,x_L^{(j)}$ (da j-ésima simulação), a variância entre as cadeias e a variância das cadeias é estimada utilizando as estimativas:

${\bar{x}}_j=\frac{1}{L}\sum _{i=1}^L{x}_i^{(j)}$ Valor médio da cadeia j

${\bar{x}}_{*}=\frac{1}{J}\sum _{j=1}^J{\bar{x}}_j$ Média das médias de todas as cadeias

$B=\frac{L}{J-1}\sum _{j=1}^J({\bar{x}}_j-{\bar{x}}_{*}{)}^2$ Variância das médias das cadeias

$W=\frac{1}{J}\sum _{j=1}^J(\frac{1}{L-1}\sum _{i=1}^L(x_i^{(j)}-{\bar{x}}_j{)}^2)$ Média das variâncias das cadeias

Temos então uma estimativa da estatística Gelman-Rubin $R$:

$R=\frac{\frac{L-1}{L}W+\frac{1}{L}B}{W}$

Quando L tende ao infinito e B tende a zero, R tende a 1.

Alternativas

O Diagnóstico Geweke compara se a média dos primeiros x por cento de uma cadeia e a média dos últimos y por cento de uma cadeia correspondem.

Literatura

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