Superfórmula

A superfórmula é uma generalização da superelipse e foi proposta por Johan Gielis em 2003. ^[1] Gielis sugeriu que a fórmula pode ser usada para descrever muitas formas e curvas complexas encontradas na natureza. Gielis entrou com um pedido de patente relacionado à síntese de padrões gerados pela superfórmula, que expirou em 10/05/2020. ^[2]

Em coordenadas polares, com $r$ o raio e $φ$ o ângulo, a superfórmula é:

$r (φ) = {({| \frac{\cos (\frac{m φ}{4})}{a} |}^{n_{2}} + {| \frac{\sin (\frac{m φ}{4})}{b} |}^{n_{3}})}^{- \frac{1}{n_{1}}} .$ Ao escolher valores diferentes para os parâmetros $a, b, m, n_{1}, n_{2},$ e $n_{3},$ diferentes formas podem ser geradas. A fórmula foi obtida pela generalização da superelipse, nomeada e popularizada por Piet Hein, um matemático dinamarquês.

Gráficos 2D

Nos exemplos a seguir, os valores mostrados acima de cada figura devem ser m, n ₁, n ₂ e n ₃.

Um programa GNU Octave para gerar essas figuras:

function sf2d(n, a)
  u = [0:.001:2 * pi];
  raux = abs(1 / a(1) .* abs(cos(n(1) * u / 4))) .^ n(3) + abs(1 / a(2) .* abs(sin(n(1) * u / 4))) .^ n(4);
  r = abs(raux) .^ (- 1 / n(2));
  x = r .* cos(u);
  y = r .* sin(u);
  plot(x, y);
end

Extensão para dimensões superiores

É possível estender a fórmula para 3, 4 ou n dimensões, por meio do produto esférico de superfórmulas. Por exemplo, a superfície paramétrica 3D é obtida pela multiplicação de duas superfórmulas r ₁ e r ₂. As coordenadas são definidas pelas relações:

$x = r_{1} (θ) \cos θ \cdot r_{2} (ϕ) \cos ϕ,$ $y = r_{1} (θ) \sin θ \cdot r_{2} (ϕ) \cos ϕ,$ $z = r_{2} (ϕ) \sin ϕ,$ onde $ϕ$ (latitude) varia entre − π /2 e π /2 e θ (longitude) entre − π e π.