Teorema de Herbrand-Ribet

Predefinição:Descrição curtaEm matemática, o teorema de Herbrand–Ribet é um resultado sobre o grupo de classes de certos corpos numéricos. Trata-se de um fortalecimento do teorema de Ernst Kummer, que afirma que o primo p divide o número de classes do corpo ciclotômico das p-ésimas raízes da unidade se, e somente se, p divide o numerador do n-ésimo número de Bernoulli B_n para algum n, 0 < n < p − 1. O teorema de Herbrand–Ribet especifica o que significa, em particular, quando p divide tal B_n.

Enunciado

O grupo de Galois Δ do corpo ciclotômico das p-ésimas raízes da unidade para um primo ímpar p, Q(ζ) com ζ^p = 1, consiste nos p − 1 elementos do grupo σ_a, onde ${\sigma }_a(\zeta )={\zeta }^a$. Como consequência do pequeno teorema de Fermat, no anel dos inteiros p-ádicos ${\mathbb{Z}}_p$, temos p − 1 raízes da unidade, cada uma das quais é congruente módulo p a algum número no intervalo de 1 a p − 1; portanto, podemos definir um caractere de Dirichlet ω (o caractere de Teichmüller) com valores em ${\mathbb{Z}}_p$, exigindo que, para n relativamente primo a p, ω(n) seja congruente a n módulo p. A parte p do grupo de classes é um módulo sobre ${\mathbb{Z}}_p$ (uma vez que é p-primário), portanto, um módulo sobre o anel de grupo ${\mathbb{Z}}_p[\mathrm{\Delta }]$. Agora, definimos os elementos idempotentes do anel de grupo para cada n de 1 a p − 1, como

${ϵ}_n=\frac{1}{p-1}\sum _{a=1}^{p-1}\omega (a{)}^n{\sigma }_a^{-1}.$

É fácil ver que $\sum {ϵ}_n=1$ e ${ϵ}_i{ϵ}_j={\delta }_{ij}{ϵ}_i$, onde ${\delta }_{ij}$ é o delta de Kronecker. Isso nos permite decompor a parte p do grupo de classes ideais G de Q(ζ) por meio dos idempotentes; se G é a parte p-primária do grupo de classes ideais, então, definindo G_n = ε_n(G), temos $G=\oplus G_n$.

O teorema de Herbrand–Ribet afirma que, para n ímpar, G_n é não trivial se, e somente se, p divide o número de Bernoulli B_p−n.

O teorema não faz nenhuma afirmação sobre os valores pares de n, mas não se conhece nenhum p para o qual G_n seja não trivial para qualquer n par: a trivialidade para todos os p seria uma consequência da conjectura de Vandiver.

Demonstrações

A parte que afirma que p divide B_p−n se G_n não é trivial é devida a Jacques Herbrand. A recíproca, que afirma que, se p divide B_p−n, então G_n não é trivial, é devida a Kenneth Ribet e é consideravelmente mais difícil. Pela teoria dos corpos de classes, isso só pode ser verdade se houver uma extensão não ramificada do corpo das p-ésimas raízes da unidade por uma extensão cíclica de grau p que se comporte da maneira especificada sob a ação de Σ; Ribet prova isso construindo tal extensão usando métodos da teoria das formas modulares.

Uma demonstração mais elementar da recíproca de Ribet para o teorema de Herbrand, consequência da teoria dos sistemas de Euler, pode ser encontrada no livro de Washington.

Generalizações

Os métodos de Ribet foram desenvolvidos ainda mais por Barry Mazur e Andrew Wiles para provar a conjectura principal da teoria de Iwasawa, uma consequência da qual é um fortalecimento do teorema de Herbrand–Ribet: a potência de p que divide B_p−n é exatamente a potência de p que divide a ordem de G_n.

Ver também

• Teoria de Iwasawa
• Número de Bernoulli § Os teoremas de Kummer

Predefinição:Referências