Equação de Burgers

Introdução

A equação de Burgers é expressa por $u_t+c\cdot u_x=\mu \cdot u_{xx}$. O estudo dessa equação é de extrema importância, já que ela é utilizada como modelo matemático para análise de fenômenos como turbulência e formação de choque.

A equação de Burgers, estabelecida por Burgers em 1940, é uma equação diferencial parcial simplificada das equações de Navier-Stokes, do tipo convecção-difusão, para casos em que o gradiente de pressão possa ser ignorado. O termo não linear dá origem a uma onda que se move em alguma direção. Essa onda eventualmente se dissipa e a solução não linear tende à mesma forma da solução não linearizada, porém com amplitude menor.

A solução desta equação sem viscosidade, ou seja, com $\mu =0$, pode se dar pelo método das características, no qual é possível descobrir curvas características, onde a equação é reduzida para uma EDO.

Considerando $\mu >0$, Hopf e Cole deduziram que as equações de Burgers podem ser transformadas em uma equação linear da difusão do calor, conhecida como "transformação de Hopf-Cole".

Teorema da Transformada de Hopf-Cole

Seja $v(x,t)>0$ uma solução positiva da equação do calor:

$v_t=\mu v_{xx}$

Então, definimos a transformação de Hopf-Cole como:

$u(x,t)=-2\mu \frac{v_x}{v}$

Essa transformação é útil para converter a equação de Burgers na equação do calor, facilitando sua resolução.

Teorema da Conservação de Massa

O Teorema da Conservação de Massa afirma que a integral total da solução $u(x,t)$ ao longo de toda a reta real $ℝ$ permanece constante no tempo, desde que $u(x,0)\in L^1(ℝ).$ Seja u(x,t) uma solução da equação de Burgers viscosa:

$u_t+u{u}_x=\mu u_{xx}$

com condição inicial $u(x,0)\in L^1(ℝ).$ Então, para todo $t\ge 0$ , a seguinte identidade se mantém:

$\underset{ℝ}{\int }u(x,t)dx=\underset{ℝ}{\int }u(x,0)dx.$

Ou seja, a quantidade total de $u(x,t)$ ao longo do domínio permanece constante no tempo.

Teorema da Monotonicidade

Se $||u(x,t)|{|}_{L^1(ℝ)}\le ||u(x,0)|{|}_{L^1(ℝ)}$ para todo $t>0$, e o teorema da conservação de massa, que estabelece que, sendo $u(x,t)$ solução para a equação de Burgers com $u(x,0)\in L^1(ℝ)$, tem-se que:

$\underset{ℝ}{\int }u(x,t)dx=\underset{ℝ}{\int }u(x,0)dx$

Para demonstrar o teorema da monotonicidade da solução, definimos uma função de corte ${\zeta }_r(x)$ e uma função sinal regularizada $L{\text{'}}_s(u(x,t))$.

Função sinal regularizada

$S\in C_1(ℝ)$

$L{\text{'}}_s=\int S\left(\frac{\xi }{S}\right)d\xi$

$sgn(x)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }x>0\\ 0,& \text{se }x=0\\ -1,& \text{se }x<0\end{array}$

Função de Corte

${\zeta }_r(x)\in C^1(ℝ)$

${\zeta }_r(x)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }|x|\le r/2\\ 0,& \text{se }|x|\ge r\end{array}$

O teorema da monotonicidade da solução consiste em multiplicar a equação de Burgers por $L{\text{'}}_s(u(x,t))$ e pela função de corte ${\zeta }_r(x)$, integrando em $[t_o,T]\times [-r,r]$. Assim, obtemos:

$\underset{t_0}{\overset{T}{\int }}\underset{-r}{\overset{r}{\int }}{L_s}^{\prime }\cdot {\zeta }_r(x)\cdot u_{t}dxdt+\underset{t_0}{\overset{T}{\int }}\underset{-r}{\overset{r}{\int }}{L_s}^{\prime }\cdot {\zeta }_r(x)u{u}_{x}dxdt=\underset{t_0}{\overset{T}{\int }}\underset{-r}{\overset{r}{\int }}{L_s}^{\prime }\cdot {\zeta }_r(x)\cdot \mu u_{xx}dxdt$

Resolvendo a primeira parte da equação:

$I\to \underset{ℝ}{\int }{L}_s(u(x,T))-\underset{ℝ}{\int }{L}_s(u(x,t_o))$

Pela parte III:

$III\to -\mu \underset{t_0}{\overset{T}{\int }}\underset{ℝ}{\int }L{s}^{″}(u)\cdot u_x^{2}dxdt$

Unindo todas as partes:

$\underset{ℝ}{\int }{L}_s(u(x,T))\le \underset{ℝ}{\int }{L}_s(u(x,t_o))$

Então, quando $S\to 0$, temos $L_s(u(x,T))\to |u(x,t)|$, resultando em:

$\underset{ℝ}{\int }|u(x,T)|\le \underset{ℝ}{\int }|u(x,t_o)|$

O mesmo raciocínio pode ser aplicado para $r>1$.

No caso da conservação de massa, multiplicamos a equação de Burgers $u_t+u{u}_x=\mu \cdot u_{xx}$ pela função de corte ${\zeta }_r(x)$ e integramos em $[to,T]\times [-r,r]$, resultando em:

$\underset{-r}{\overset{r}{\int }}u(x,T)=\underset{-r}{\overset{r}{\int }}u(x,t_0)$

Como a função $\frac{d{\zeta }_r}{dx}$ tende a 0 quando r $\to \mathrm{\infty }$, resulta que a função $u$ é limitada, obtemos que os termos adicionais desaparecem, garantindo a conservação da massa na equação de Burgers.