Comutador (matemática)

Na matemática, o comutador indica o "quanto" uma operação binária falha em ser comutativa. Diferentes definições são usadas em teoria dos grupos e teoria dos anéis.

Teoria dos grupos

Em teoria dos grupos, o comutador de dois elementos ($g$ e $h$) de um grupo G é dado por:

$$[g,h]=g^{-1}{h}^{-1}gh$$

O conjunto dos comutadores, $\{[g,h]\in G|\mathrm{\forall }g,h\in G\},$ não é fechado no produto (logo não é um subgrupo; mas o menor grupo em que isto ocorre tem ordem 96 Predefinição:Carece de fontes). O subgrupo gerado pelos comutadores, G' é chamado de subgrupo comutador, e tem várias propriedades importantes (ele é um subgrupo normal, o quociente G/G' é abeliado, etc).

Vale também que um grupo $G$ é abeliano se, e somente se, seu subgrupo comutador é o subgrupo trivial de um elemento: $G^{\prime }=\{e\}.$

Teoria dos anéis

Em teoria dos anéis o comutador de dois elementos $a,b$ de um anel é dado por

$$[a,b]=ab-ba$$

O comutador de $a$ e $b$ é zero se e somente se os elementos $a$ e $b$ comutam.

Ver também

• Colchete de Poisson