3-variedade quíntica de Fermat

Seção transversal bidimensional da 3-variedade quíntica de Fermat

Em matemática, a 3-variedade quíntica de Fermat é uma 3-variedade quíntica especial, em outras palavras, uma hipersuperfície de grau 5, dimensão 3 em um espaço projetivo complexo de 4 dimensões, dada pela equação

$$V^5+W^5+X^5+Y^5+Z^5=0.$$

Esta 3-variedade, cujo nome é uma homenagem a Pierre de Fermat, é uma variedade Calabi-Yau.

O diamante de Hodge de uma 3-variedade quíntica não singular é Predefinição:Diamante de Hodge

Curvas racionais

Predefinição:Harvard citationsconjecturou que o número de curvas racionais de um certo grau em uma 3-variedade quíntica genérica é finito. A 3-variedade quíntica de Fermat não é genérica neste sentido, e Predefinição:Harvard citationsmostraram que suas retas estão contidas em 50 famílias unidimensionais da forma

$$(x:-\zeta x:ay:by:cy)$$

em que ${\zeta }^5=1$ e $a^5+b^5+c^5=0$. Existem 375 retas em mais de uma família, da forma

$$(x:-\zeta x:y:-\eta y:0)$$

para raízes quintas da unidade $\zeta$ e $\eta$.

Referências

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