Condição de Hölder

Predefinição:Sem fontes Em matemática, uma função a valores reais f sobre $R^n$ satisfaz a condição de Hölder, ou é Hölder contínua, quando existem constantes reais não-negativas C, $\alpha$, tais que, $\mathrm{\forall }x,y\in {𝐑}^n$,

$|f(x)-f(y)|\le C|x-y{|}^{\alpha }.$

Esta condição se generaliza para funções entre dois espaços métricos quaisquer. O número $\alpha$ é chamado de expoente da função que satisfaz a condição de Hölder. Se $\alpha =1$, então a função satisfaz a condição de Lipschitz. Se $\alpha =0$, a função é apenas limitada.

Espaços de Hölder que consistem de funções que satisfazem a condição de Hölder permeiam áreas da análise funcional relevantes à resolução de equações diferenciais parciais. O espaço de Hölder $C^{n,\alpha }(\mathrm{\Omega })$, onde $\omega$ é um subconjunto aberto de algum espaço euclidiano, consiste daquelas funções cujas derivadas até ordem n são Hölder contínuas com expoente $\alpha$. Desta forma, temos um espaço vetorial topológico, com a seminorma: $|f{|}_{C^{0,\alpha }}=\underset{x,y\in \mathrm{\Omega }}{\sup }\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y{|}^{\alpha }},$

e para $n\ge 0,$

$\Vert f{\Vert }_{C^{n,\alpha }}=\Vert f{\Vert }_{C^n}+\underset{|\beta |=n}{\max }|D^{\beta }f{|}_{C^{0,\alpha }}$

onde β varia segundo a notação de multi-índices, e

$\Vert f{\Vert }_{C^n}=\underset{|\beta |\le n}{\max }\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{\sup }|D^{\beta }f(x)|$.

Propriedades

• As folhas invariantes de um difeomorfismo parcialmente hiperbólico suave variam Hölder continuamente.