Conjectura da soma de potências de Euler

Predefinição:Sem notas A conjectura de Euler dizia que uma equação do tipo $a_1^k+a_2^k+a_3^k+\cdots +a_n^k=b^k$ só teria solução de inteiros positivos se a quantidade n de parcelas fosse, no mínimo, igual ao expoente (inteiro) k.

Esta conjectura foi proposta por Leonhard Euler em 1769. Tratava-se de uma tentativa de generalização do Último Teorema de Fermat (1637).

No entanto, esta conjectura foi provada falsa por L. J. Lander e T. R. Parkin em 1966 , ao exibirem um contra-exemplo de uma potência de 5 obtida pela soma de apenas 4 potências de 5:

$27^5+84^5+110^5+133^5=144^5$.

Em 1986, Noam Elkies, da Universidade de Harvard, encontrou um método para construir contra-exemplos para o caso de k = 4 ($x^4+y^4+z^4=w^4$). Seu contra-exemplo foi:

$2.682.440^4+15.365.639^4+18.796.760^4=20.615.673^4$.

Em 1988, Roger Frye encontrou o menor contra-exemplo possível para k = 4 usando técnicas computacionais sugeridas por Noam Elkies:

$95.800^4+217.519^4+414.560^4=422.481^4$

Vale notar que a determinação de 1 contra-exemplo gera uma família de infinitos contra-exemplos.

Para isso, basta notar que: se $a_1^k+a_2^k+a_3^k+\cdots +a_n^k=b^k$ , basta multiplicarmos a sentença por $c^k$.

O que nos fornece: $(c.a_1{)}^k+(c.a_2{)}^k+(c.a_3{)}^k+\cdots +(c.a_n{)}^k=(c.b{)}^k$

Ligações externas

• EulerNet: Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers
• Euler Quartic Conjecture em MathWorld
• Diophantine Equation — 4th Powers em MathWorld
• Euler's Sum of Powers Conjecture em MathWorld