Conjetura Oesterlé–Masser

Em matemática, a conjetura Oesterlé–Masser ou conjetura abc é um problema em aberto em teoria dos números. Ela foi primeiramente proposta por Joseph Oesterlé e David Masser respetivamente em 1988 e 1985. A conjectura do ABC teve origem como resultado de tentativas de Oesterlé e Masser de entender a conjectura de Szpiro sobre curvas elípticas, que envolve estruturas mais geométricas em sua afirmação do que a conjectura abc. A conjectura abc mostrou-se equivalente à conjectura modificada de Szpiro.

Uma série de conjecturas famosas e teoremas na teoria dos números seguiriam imediatamente da conjectura abc ou de suas versões. Goldfeld (1996) descreveu a conjectura do ABC como "o problema não resolvido mais importante na análise diofantina".

Prova de Mochizuki

Em agosto de 2012, o matemático Shinichi Mochizuki disponibilizou uma série de quatro artigos contendo uma séria alegação que ele tinha obtido uma demonstração da conjetura abc. Três anos depois, 2015, a prova de Mochizuki permanece no limbo matemático - nem desmentida nem aceita pela comunidade em geral. Mochizuki estimou que levaria a um estudante de graduação de matemática cerca de 10 anos para ser capaz de entender o seu trabalho, e muitos especialistas acreditam que levaria até mesmo um especialista em geometria aritmética cerca de 500 horas. Até agora, apenas quatro matemáticos dizem terem sido capazes de ler e entender a prova inteira.

Caso Particular para a Conjectura do abc

Seja a,b,c ∈ N, de tal forma que temos c = b + a, ao fazer as operações necessárias chegaremos em $c^{2^k}=b^{2^k}+a.\prod _{i=1}^k(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})$ ou $c^{2^k}=b^{2^k}+a.\prod _{i=0}^{k-1}(b^{2^i}+c^{2^i})$, com k ∈ Ne i índice, onde rad[$c.b.a.\prod _{i=1}^k(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})]>c^{2^k}$ ou rad[$c.b.a.\prod _{i=0}^{k-1}(b^{2^i}+c^{2^i})]>c^{2^k}$.

Demonstração

Dado a equação c = b + a ao multiplicar ambos os lados por b resulta em $c.b=b^2+a.b$, como b = c- a ao substituir no primeiro membro da igualdade temos $c.(c-a)=b^2+a.b$ ⇒ $c^2-a.c=b^2+a.b$ ⇒ $c^2=b^2+a.b+a.c$⇒ $c^2=b^2+a.(b+c)$( & ).

Ao Multiplicar ( & ) por $c^2$ temos $c^4=b^2.c^2+a.c^2.(b+c)$ ao substituir o 1ª $c^2$ por $b^2+a.(b+c)$, temos $c^4=b^2.[b^2+a.(b+c)]+a.c^2.(b+c)$ ⇒ $c^4=b^4+a.b^2.(b+c)+a.c^2.(b+c)$ ⇒ $c^4=b^4+a.(b+c).(b^2+c^2)$ ( && ).

Ao Multiplicar ( && ) por $c^4$ temos$c^8=b^4.c^4+a.c^4.(b+c).(b^2+c^2)$ ao substituir o 1ª $c^4$ por $b^4+a.(b+c).(b^2+c^2)$, temos $c^8=b^4.[b^4+a.(b+c).(b^2+c^2)]+a.c^4.(b+c).(b^2+c^2)$ ⇒ $c^8=b^8+a.b^4.(b+c).(b^2+c^2)+a.c^4.(b+c).(b^2+c^2)$ ⇒ $c^8=b^8+a.(b+c).(b^2+c^2).(b^4+c^4)$ ( &&& ).

Ao Multiplicar ( &&& ) por $c^8$ temos $c^{16}=b^8.c^8+a.c^8.(b+c).(b^2+c^2).(b^4+c^4)$ao substituir o 1ª $c^8$ por $b^8+a.(b+c).(b^2+c^2).(b^4+c^4)$, temos $c^{16}=b^8.[b^8+a.(b+c).(b^2+c^2).(b^4+c^4)]+a.c^8.(b+c).(b^2+c^2).(b^4+c^4)$ ⇒ $c^{16}=b^{16}+a.b^8.(b+c).(b^2+c^2).(b^4+c^4)+a.c^8.(b+c).(b^2+c^2).(b^4+c^4)$ ⇒ $c^{16}=b^{16}+a.(b+c).(b^2+c^2).(b^4+c^4).(b^8+c^8)$ ( &&&& ).

Se continuarmos com a mesma lógica matemática teremos uma sequência no 1ª membro como $S_k(1):c^1,c^2,c^4,c^8,c^{16},...,c^{2^k}$ com k≥0 ,o mesmo ocorre com o 2ª membro em relação a potência isso é $S_k(2):b^1,b^2,b^4,b^8,b^{16},...,b^{2^k}$ com k≥0, note que a outra parte do 2ª membro temos; $a.(b+c).(b^2+c^2).(b^4+c^4).(b^8+c^8).(b^{16}+c^{16}).(b^{32}+c^{32})...(b^{2^{k-1}}+c^{2^{k-1}})$ (Pro), mas ao ignorarmos a o restante é um produtório sendo assim podemos escrever (Pro) como $Pro=a.\prod _{i=1}^k(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})$ ou $Pro=a.\prod _{i=0}^{k-1}(b^{2^i}+c^{2^i})$.

Portanto temos como equações:

$c^{2^k}=b^{2^k}+a.\prod _{i=1}^k(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})$ ou $c^{2^k}=b^{2^k}+a.\prod _{i=0}^{k-1}(b^{2^i}+c^{2^i})$, desde que c = b + a

Se caso c for primo temos que rad($c^{2^k}$)=c, o mesmo para b se for primo rad($b^{2^k}$)=b, caso algum seja um número composto teremos; $c=\prod _{j=1}^{\omega (c)}{p}_j^{{\alpha }_j}$ ⇒ rad($c^{2^k}$)=rad($c=\prod _{j=1}^{\omega (c)}{p}_j^{{\alpha }_j}$) $=p_1.p_2.p_3.p_4...p_j$, com $p_j$ primos, de forma análoga temos rad($b^{2^k}$)=rad($b=\prod _{j=1}^{\omega (b)}{p}_j^{{\alpha }_j}$) $=p_1.p_2.p_3.p_4...p_j$, todavia (Pro) já é composto então rad(Pro)$=rad(rad(a).p_1.p_2.p_3.p_4...p_j)$ ≥ $q.p_1.p_2.p_3.p_4...p_j$ . Onde rad(a)≥q com q um número primo.

Então rad($a,b,c$) = rad($c^{2^k}.b^{2^k}.Pro$) ≥ $rad(c.b.a.rad(Pro))$ $>c^{2^k}$. isso é valido pois c > b ou c > a e b ≥ a ou a ≥ b, já que c = b + a.

Exemplo com Números

Possibilidades seja c=13 , então b + a, há uma finidade de combinação tipo b = 10 e a = 3 , b = 11 e a = 2, b = 9 e a = 4, b = 8 e a = 5, pode ser qualquer combinação nos naturais dede que c = b + a, o mais simples nesse caso é b=12 e a=1.

Exemplo(1) dada a igualdade 13 = 7 + 6 então c=13, b=7 e a=6 ou 13 = 6 + 7 então c=13, a=7 e b=6 (Usando qualquer uma será valida), com k variando de 1 até 3, optando por c=13, b=7 e a=6 temos:

Para k=1 isso é;

$c^{2^k}=b^{2^k}+a.\prod _{i=1}^k(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})$ ⇒ $13^{2^1}=7^{2^1}+6.\prod _{i=1}^1(7^{2^{i-1}}+13^{2^{i-1}})$ ⇒ $13^2=7^2+6.(7^{2^0}+13^{2^0})$ ⇒ $13^2=7^2+6.(7+13)$ $13^2=7^2+6.20$ ⇒ $13^2=7^2+2.3.5.2^2$ ⇒ $13^2=7^2+2^3.3.5$ então rad ($13^2.7^2.2^3.3.5$)$=13.7.2.3.5=2730>13^2=169$

Para k=2 isso é;

$c^{2^k}=b^{2^k}+a.\prod _{i=1}^k(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})$ ⇒ $13^{2^2}=7^{2^2}+6.\prod _{i=1}^2(7^{2^{i-1}}+13^{2^{i-1}})$ ⇒ $13^4=7^4+6.(7^1+13^1).(7^2+13^2)$ ⇒ $13^4=7^4+6.20.(49+169)$ ⇒ $13^4=7^4+6.20.218$ ⇒ $13^4=7^4+2^4.3.5.109$ então rad ($13^4.7^4.2^4.3.5.109$)$=13.7.2.3.5.109=297570>13^4=28561$

Para k=3 isso é;

$c^{2^k}=b^{2^k}+a.\prod _{i=1}^k(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})$ ⇒ $13^{2^3}=7^{2^3}+6.\prod _{i=1}^3(7^{2^{i-1}}+13^{2^{i-1}})$ ⇒ $13^8=7^8+6.(7^1+13^1).(7^2+13^2).(7^4+13^4)$ ⇒ $13^8=7^8+6.(20).(218).(2401+28561)$ ⇒ $13^8=7^8+2^4.3.5.109.(2401+28561)$ ⇒ $13^8=7^8+2^4.3.5.109.(30962)$ ⇒ $13^8=7^8+2^4.3.5.109.(2.113.137)$ ⇒ $13^8=7^8+2^5.3.5.109.113.137$ então rad ($13^8.7^8.2^5.3.5.109.113.137$)$=13.7.2.3.5.109.113.137=4606681170>13^8=815730721$

Utilidade

Suponhamos que queremos encontrar certos divisores das diferenças de duas potências que tenham essas propriedades descritas anteriormente, exemplo o Pequeno Teorema de Fermat que é $a^{p-1}$≡$1mod(p)$, com a ∈ Ζ e p primo, de forma algébrica isso é ∃ t ∈ Z tal que $t=\frac{a^{p-1}-1}{p}$.

Nesse caso do pequeno teorema de Fermat em relação a formula, temos a seguinte situação particular, transcrevendo a forma algébrica do pequeno teorema de Fermat para se adequar isso é

$p-1=2^k$

⇒

$p=2^k+1$

, como

$c=a+b$

gerou

$c^{2^k}=b^{2^k}+a.\prod _{i=1}^k(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})$ ⇒ $a.\prod _{i=1}^k(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})=c^{2^k}-b^{2^k}$

, então usando as adaptações isso é no lugar de c=a , b=1 , e a=p isso nos dar como fórmula;

$p.\prod _{i=1}^k(1^{2^{i-1}}+a^{2^{i-1}})=a^{2^k}-1^{2^k}$ ⇒ $p.\prod _{i=1}^k(1^{2^{i-1}}+a^{2^{i-1}})=a^{p-1}-1$ ⇒ $\prod _{i=1}^k(1+a^{2^{i-1}})=\frac{a^{p-1}-1}{p}$ ⇔ $p=2^k+1$ e $a=p+1$

Portanto os divisores de $a^{p-1}-1$ é p e $\prod _{i=1}^k(1+a^{2^{i-1}})=t$.

Para facilitar as operações a fórmula para o Pequeno Teorema de Fermat pode ficar escrita como;

$\prod _{i=1}^k(1+(p+1{)}^{2^{i-1}})=\frac{(p+1{)}^{p-1}-1}{p}$ ⇒ $p=\frac{(p+1{)}^{p-1}-1}{\prod _{i=1}^k(1+(p+1{)}^{2^{i-1}})}$ ⇔ $p=2^k+1$

Isso significa se p não for primo então t ∈ Q baseado no Teorema Pequeno teorema de Fermat.

Exemplo(1)

para k=1 então $p=2^k+1=2^1+1=3$

$p=\frac{(p+1{)}^{p-1}-1}{\prod _{i=1}^k(1+(p+1{)}^{2^{i-1}})}$ ⇒ $3=\frac{(3+1{)}^{3-1}-1}{\prod _{i=1}^1(1+(3+1{)}^{2^{i-1}})}$ ⇒ $3=\frac{4^2-1}{(1+(4{)}^{2^0})}$ ⇒ $3=\frac{16-1}{(1+4)}$ ⇒ $3=\frac{15}{5}$ ⇒ $3=3$

Satisfez a igualdade então 3 é primo.

Exemplo(2)

para k=2 então $p=2^k+1=2^2+1=5$

$p=\frac{(p+1{)}^{p-1}-1}{\prod _{i=1}^k(1+(p+1{)}^{2^{i-1}})}$ ⇒ $5=\frac{(5+1{)}^{5-1}-1}{\prod _{i=1}^2(1+(5+1{)}^{2^{i-1}})}$ ⇒ $5=\frac{6^4-1}{(1+6).(1+6^2)}$ ⇒ $5=\frac{1296-1}{7.37}$ ⇒ $5=\frac{1295}{7.37}$ ⇒ $5=\frac{5.7.37}{7.37}$ ⇒ $5=5$

Satisfez a igualdade então 5 é primo.

O que irão ver quando k=3 e k=5, é uma contradição do Pequeno teorema de Fermat, o que o pequeno Teorema de Fermat diz ? seja mdc(a,p)=1 isso é a e p primo entre se, então $p/(a^{p-1}-1)$ ⇔ $p$ for primo, intenda que mdc( p + 1 , p) = 1.

Exemplo(3)

para k=3 então $p=2^k+1=2^3+1=9$

$p=\frac{(p+1{)}^{p-1}-1}{\prod _{i=1}^k(1+(p+1{)}^{2^{i-1}})}$ ⇒ $9=\frac{(9+1{)}^{9-1}-1}{\prod _{i=1}^3(1+(9+1{)}^{2^{i-1}})}$ ⇒ $9=\frac{10^8-1}{(1+10).(1+10^2).(1+10^4)}$

Calculo da contradição

Satisfez a igualdade porém 9 não é primo, note que o mdc(10,9)=1, então a divisão não era para ter resultado em um inteiro porém foi o que ocorreu então é uma falha no pequeno teorema de Fermat.

Exemplo(4)

para k=4 então $p=2^k+1=2^4+1=17$

$p=\frac{(p+1{)}^{p-1}-1}{\prod _{i=1}^k(1+(p+1{)}^{2^{i-1}})}$ ⇒ $17=\frac{(17+1{)}^{17-1}-1}{\prod _{i=1}^4(1+(17+1{)}^{2^{i-1}})}$ ⇒ $17=\frac{18^{16}-1}{(1+18).(1+18^2).(1+18^4).(1+18^8)}$ ⇒

Quando k é 4

Satisfez a igualdade então 17 é primo.

Exemplo(5)

para k=5 então $p=2^k+1=2^5+1=33$

$p=\frac{(p+1{)}^{p-1}-1}{\prod _{i=1}^k(1+(p+1{)}^{2^{i-1}})}$ ⇒ $33=\frac{(33+1{)}^{33-1}-1}{\prod _{i=1}^5(1+(33+1{)}^{2^{i-1}})}$ ⇒ $33=\frac{34^{32}-1}{(1+34).(1+34^2).(1+34^4).(1+34^8).(1+34^{16})}$

Quando k é 5

Satisfez a igualdade porém 33 não é primo, portanto outra falha do Pequeno Teorema de Fermat.

Diferença de duas potências

Sempre que haver uma diferença de duas potências do tipo $c^{2^k}-b^{2^k}$ é sempre divisível por a e $\prod _{i=1}^k(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})$ ou $\prod _{i=0}^{k-1}(b^{2^i}+c^{2^i})$, dito isso é só adaptar as as bases e expoentes necessário como foi feito para o Pequeno teorema de Fermat.

Ver também

• Problemas do Milênio
• Problemas de Smale