Derivação de algumas transformadas discretas de Hilbert

Apresenta-se aqui a derivação de algumas transformadas discretas de Hilbert.

f(t) = cos(2πt), com 10 amostras e intervalo de amostragem de 0.2 s

Neste caso, n = 10 e ω = 2π rd/s. Assim, f_max = 1 Hz e a condição $t_a<\frac{1}{2f_{max}}$ foi satisfeita. Q(k) será a sequência

$Q(k)=\{p_k\}|p_k=cos(2\pi k\cdot t_a),k=\{0,1,2...9\}$

$Q(k)=\{p_k\}|p_k=cos(0.4\cdot \pi k),k=\{0,1,2...9\}$

Q(k) = {1.00, 0.309, -0.809, -0.809, 0.309, 1.00, 0.309, -0.809, -0.809, 0.309}.

Cálculo através da convolução

Vamos obter a DHT primeiro através da expressão da convolução. Para isso, calcula-se a matriz H^-1(k-j) e depois o produto matricial H^-1(k-j) · Q(j)

$H^{-1}(k-j)=[p_{k,j}]|p_{k,j}=-\frac{2}{n}\cdot si{n}^2(\frac{\pi }{2}(kj))\cdot cot(\frac{\pi }{n}(k-j)),k,j=\{0,1,2...9\}$

$H^{-1}(k-j)=\left[\begin{array}{cccccccccc}0.000& 0.616& 0.000& 0.145& 0.000& 0.000& 0.000& -0.145& 0.000& -0.616\\ -0.616& 0.000& 0.616& 0.000& 0.145& 0.000& 0.000& 0.000& -0.145& 0.000\\ 0.000& -0.616& 0.000& 0.616& 0.000& 0.145& 0.000& 0.000& 0.000& -0.145\\ -0.145& 0.000& -0.616& 0.000& 0.616& 0.000& 0.145& 0.000& 0.000& 0.000\\ 0.000& -0.145& 0.000& -0.616& 0.000& 0.616& 0.000& 0.145& 0.000& 0.000\\ 0.000& 0.000& -0.145& 0.000& -0.616& 0.000& 0.616& 0.000& 0.145& 0.000\\ 0.000& 0.000& 0.000& -0.145& 0.000& -0.616& 0.000& 0.616& 0.000& 0.145\\ 0.145& 0.000& 0.000& 0.000& -0.145& 0.000& -0.616& 0.000& 0.616& 0.000\\ 0.000& 0.145& 0.000& 0.000& 0.000& -0.145& 0.000& -0.616& 0.000& 0.616\\ 0.616& 0.000& 0.145& 0.000& 0.000& 0.000& -0.145& 0.000& -0.616& 0.000\end{array}\right]$

$H^{-1}(k-j)\cdot Q(j)=\left[\begin{array}{cccccccccc}0.000& 0.190& 0.000& -0.118& 0.000& 0.000& 0.000& 0.118& 0.000& -0.190\\ -0.616& 0.000& -0.498& 0.000& 0.045& 0.000& 0.000& 0.000& 0.118& 0,000\\ 0.000& -0.190& 0.000& -0.498& 0.000& 0.145& 0.000& 0.000& 0.000& -0.045\\ -0.145& 0.000& 0.498& 0.000& 0.190& 0.000& 0.045& 0.000& 0.000& 0.000\\ 0.000& -0.045& 0.000& 0.498& 0.000& 0.616& 0.000& -0.118& 0.000& 0.000\\ 0.000& 0.000& 0.118& 0.000& -0.190& 0.000& 0.190& 0.000& -0.118& 0.000\\ 0.000& 0.000& 0.000& 0.118& 0.000& -0.616& 0.000& -0.498& 0.000& 0.045\\ 0.145& 0.000& 0.000& 0.000& -0.045& 0.000& -0.190& 0.000& -0.498& 0.000\\ 0.000& 0.045& 0.000& 0.000& 0.000& -0.145& 0.000& 0.498& 0.000& 0.190\\ 0.616& 0.000& -0.118& 0.000& 0.000& 0.000& -0.045& 0.000& 0.498& 0.000\end{array}\right]$

$DHT(k)=\{p_k\}|p_k=\sum _{j=0}^9[H^{-1}(k-j)\cdot Q(j)]k,j=\{0,1,2...9\}$

DHT(k) = {0, -0.951, -0.588, 0.588, 0.951, 0, -0.951, -0.588, 0.588, 0,951}.

Cálculo através da DFT

Vamos obter a DHT agora através da transformada discreta de Fourier. H(k) será dada por

$H(k)=\{p_k\}|p_k=i\cdot sgn(\frac{n}{2}-k)\cdot sgn(k),k=\{0,1,2...9\}$

H(k) = {0, i, i, i, i, 0, -i, -i, -i, -i}. Os coeficientes da DFT e da DFT^-1> são dados, por definição (ver Transformada de Fourier, por

$DFT\{F(k)\}=\sum _{j=0}^{n-1}[F[j]\cdot e^{-i\frac{2\pi }{n}jk}]$

e

$DF{T}^{-1}\{F(k)\}=\frac{1}{n}\cdot \sum _{j=0}^{n-1}[F[j]\cdot e^{i\frac{2\pi }{n}jk}]$

Assim,

$DFT\{Q(k)\}=\sum _{j=0}^{n-1}[Q[j]\cdot e^{-i\frac{2\pi }{n}jk}]=\sum _{j=0}^9[cos(0.4\cdot \pi j)\cdot e^{-0.2\cdot i\pi jk}]$

$DFT\{Q(k)\}=\sum _{j=0}^9[cos(0.4\cdot \pi j)\cdot (cos(-0.2\cdot \pi jk)+isin(-0.2\cdot \pi jk))]$

DFT(k) = {0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0}. Multiplicando-se por H(k), obtemos F(k) = {0, 0, 5i, 0, 0, 0, 0, 0, -5i, 0}. Assim,

$DHT(k)=DF{T}^{-1}\{H(k)\cdot DFT(k)\}=DF{T}^{-1}\{F(k)\}=\frac{1}{n}\cdot \sum _{j=0}^{n-1}[F[j]\cdot e^{i\frac{2\pi }{n}jk}]$

$DHT(k)=\frac{1}{n}\cdot \sum _{j=0}^{n-1}[F[j](cos(-0.2\cdot \pi jk)+isin(-0.2\cdot \pi jk))]$

DHT(k) = {0, -0.951, -0.588, 0.588, 0.951, 0, -0.951, -0.588, 0.588, 0,951}.

Validação

Uma vez que a transformada de Hilbert û(t) em forma fechada é conhecida, pode-se amostrá-la a intervalos t_a de maneira a obter os coeficientes exatos de DHT.

$DHT(k)=\{p_k\}|p_k=\hat{u}(k\cdot t_a),k=\{0,1,2...9\}$

$DHT(k)=\{p_k\}|p_k=-sin(2\pi k\cdot t_a),k=\{0,1,2...9\}$

DHT(k) = {0, -0.951, -0.588, 0.588, 0.951, 0, -0.951, -0.588, 0.588, 0,951}. O resultado é exato, devido à alta frequência de amostragem utilizada.