Desigualdade de Cauchy-Schwarz (números reais)

Predefinição:Wikificação A desigualdade de Cauchy-Schwarz para números reais é outra forma de escrever a desigualdade conhecida entre vetores. O nome é dado em homenagem aos matemáticos Augustin Cauchy e Hermann Amandus Schwarz.

Teorema

A desigualdade para o caso de números reais assegura que, dados n reais $a_1,a_2,...,a_n$ e n reais $b_1,b_2,...,b_n$, se tem

$(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)\ge (a_1{b}_1+a_2{b}_2+...+a_n{b}_n{)}^2$

em que a igualdade ocorre se e somente se os $a_i$ e $b_i$ forem proporcionais, ou seja

$a_1=\lambda b_1$, $a_2=\lambda b_2$,..., $a_n=\lambda b_n$,

Para algum $\lambda$ pertencente aos reais.

Demonstração

Considere a função

$f(x)=(a_1-b_{1}x{)}^2+(a_2-b_{2}x{)}^2+...+(a_n-b_{n}x{)}^2$

Como $f(x)\ge 0$ $\mathrm{\forall }x\in ℝ$, segue que $\mathrm{\Delta }\le 0$

Abrindo os quadrados e explicitando os coeficientes:

$f(x)=a_1^2-2a_1{b}_{1}x+b_1^2{x}^2+a_2^2-2a_2{b}_{2}x+b_2^2{x}^2+...+a_n^2-2a_n{b}_{n}x+b_n^2{x}^2$

$f(x)=(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)x^2-2(a_1{b}_1+a_2{b}_2+...a_n{b}_n)+a_1^2+a_2^2+...+a_n^2$

Calculando o discriminante:

$\mathrm{\Delta }=4(a_1{b}_1+a_2{b}_2+...+a_n{b}_n{)}^2-4(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)$

Da conclusão acima, segue o resultado:

$4(a_1{b}_1+a_2{b}_2+...+a_n{b}_n{)}^2-4(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)\le 0$

$(a_1{b}_1+a_2{b}_2+...+a_n{b}_n{)}^2\le (b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)$.

$C.Q.D$.

Referências

UMA DESIGUALDADE MUITO ÚTIL: A DE CAUCHY–SCHWARTZ por Benedito Tadeu V. Freire e José Maria Gomes - AULA Nº 02 – 2010.

Bibliografia

Antonio Caminha Muniz Neto,(2013), Tópicos de Matemática Elementar Volume 1 Números Reais, 2ª Edição, Editora SBM.