Energia potencial elétrica

Predefinição:Mais notas Predefinição:DistinguishPredefinição:Eletromagnetismo A energia potencial elétrica, ou energia potencial eletrostática, é a energia potencial que resulta da interação conservativa de Coulomb e está associada à configuração de um conjunto particular de cargas pontuais dentro de um sistema definido. Um objeto pode ter energia potencial elétrica em virtude de dois elementos principais: sua própria carga elétrica e sua posição relativa a outros objetos eletricamente carregados.

O termo "energia potencial elétrica" ​​é usado para descrever a energia potencial em sistemas com campos elétricos variantes no tempo, enquanto o termo "energia potencial eletrostática" é usado para descrever a energia potencial em sistemas com campos elétricos invariantes no tempo.

Definição

A energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais é definida como o trabalho necessário para montar esse sistema de cargas aproximando-as, como no sistema de uma distância infinita a uma distância r, finita.

A energia potencial eletrostática, U_E^, de uma carga pontual q na posição r na presença de um campo elétrico E é definida como o negativo do trabalho W feito pela força eletrostática para trazê-la da posição de referência r_ref para essa posição r.Predefinição:Rp $U_{\mathrm{E}}(𝐫)=-W_{r_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}\to r}=-\underset{{𝐫}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}}{\overset{𝐫}{\int }}q𝐄({𝐫}^{\prime })\cdot \mathrm{d}{𝐫}^{\prime }$ Nessa expressão E é o campo eletrostático e dr é o vetor deslocamento em uma curva da posição de referência r_ref para a posição final r

A energia potencial eletrostática também pode ser definida a partir do potencial elétrico da seguinte forma:

A energia potencial eletrostática, U_E, de uma carga pontual q na posição r na presença de um potencial elétrico é definida como o produto da carga e do potencial elétrico. $U_{\mathrm{E}}(𝐫)=q\mathrm{\Phi }(𝐫)$ Nessa expressão $\mathrm{\Phi }$ é o potencial elétrico gerado pelas cargas, que é uma função da posição r.

Unidades

A unidade do SI para a energia potencial elétrica é o joule (em homenagem ao físico inglês James Prescott Joule). No sistema CGS, o erg é a unidade de energia, sendo igual a 10⁻⁷ J. Além disso, elétron-volts podem ser usados, sendo que 1 eV = 1,602 × 10⁻¹⁹ J.

Energia potencial eletrostática de uma carga pontual

Uma carga pontual q na presença de outra carga pontual Q

Uma carga pontual q no campo elétrico de outra carga Q.

A energia potencial eletrostática, U_E, de um ponto de carga q na posição r na presença da carga pontual Q, tomando uma separação infinita entre as cargas como a posição de referência, é:

$U_E(r)=k_e\frac{qQ}{r}$

onde $k_e=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}$ refere-se a constante de Coulomb, r é a distância entre as cargas pontuais q e Q_i são as cargas (não os valores absolutos das cargas — ou seja, um elétron teria um valor negativo de carga quando colocado na fórmula). O seguinte esboço de prova afirma a derivação da definição de energia potencial elétrica e da Lei de Coulomb para esta fórmula.

Esboço da prova

A força eletrostática F agindo sobre uma carga q pode ser escrita em termos de campo elétrico E como $𝐅=q𝐄$, Por definição, a variação da energia potencial eletrostática, UE, de uma carga pontual q que se moveu da posição de referência r_ref para a posição r em a presença de um campo elétrico E é o negativo do trabalho realizado pela força eletrostática para trazê-lo da posição de referência r_ref para aquela posição r. $U_E(r)-U_E(r_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}})=-W_{r_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}\to r}=-\underset{r_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}}{\overset{r}{\int }}q𝐄\cdot \mathrm{d}𝐬$. onde:: r = posição no espaço 3D da carga q, usando as coordenadas cartesianas r = (x, y, z), tomando a posição da carga Q em r = (0,0,0), o escalar r = | r | é a norma do vetor posição, ds = diferencial vetor de deslocamento ao longo de um caminho C indo de r ref para r, $W_{r_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}\to r}$ é o trabalho realizado pela força eletrostática para trazer a carga da posição de referência rref para r, Geralmente, UE é zero quando rref é infinito: $U_E(r_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}=\mathrm{\infty })=0$ so $U_E(r)=-\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{r}{\int }}q𝐄\cdot \mathrm{d}𝐬$ Quando a ondulação Predefinição:Nowrap é zero, a integral de linha acima não depende do caminho específico C escolhido, mas apenas em seus terminais. Isso acontece em campos elétricos invariantes no tempo. Quando falamos sobre energia potencial eletrostática, campos elétricos invariantes no tempo são sempre assumidos, então, neste caso, o campo elétrico é conservativo e a lei de Coulomb pode ser usada. Usando a lei de Coulomb, sabe-se que a força eletrostática F e o campo elétrico E criado por uma carga pontual discreta Q são radialmente dirigidos de Q. Pela definição do vetor posição r e do vetor deslocamento s, segue-se que r e s também são radialmente dirigidos de Q. Portanto, E e d s devem ser paralelos: $𝐄\cdot \mathrm{d}𝐬=|𝐄|\cdot |\mathrm{d}𝐬|\cos (0)=E\mathrm{d}s$ Usando a lei de Coulomb, o campo elétrico é dado por $|𝐄|=E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{s^2}$ e a integral pode ser facilmente avaliado: $U_E(r)=-\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{r}{\int }}q𝐄\cdot \mathrm{d}𝐬=-\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{r}{\int }}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qQ}{s^2}\mathrm{d}s=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qQ}{r}=k_e\frac{qQ}{r}$

Carga pontual q na presença de n cargas pontuais Qi

Energia potencial eletrostática de q devido a Q1 e Q2 sistema de carga: $U_E=q\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}(\frac{Q_1}{r_1}+\frac{Q_2}{r_2})$

A energia potencial eletrostática, U_E, de uma carga pontual q na presença de n cargas pontuais Qi , tomando uma separação infinita entre as cargas como a posição de referência, é:

$U_E(r)=k_{e}q\sum _{i=1}^n\frac{Q_i}{r_i}$

onde $k_e=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}$ é constante de Coulomb, r_i é a distância entre as cargas pontuais q e Qi são os valores sinalizados das cargas.

Energia potencial eletrostática armazenada em um sistema de cargas pontuais

A energia potencial eletrostática U_E armazenada em um sistema de N cargas q₁, q₂, ..., q_N nas posições r₁, r₂, ..., r_N respectivamente, é:

$U_{\mathrm{E}}=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N{q}_i\mathrm{\Phi }({𝐫}_i)=\frac{1}{2}{k}_e\sum _{i=1}^N{q}_i\sum _{j=1}^{N(j\ne i)}\frac{q_j}{r_{ij}}$

onde, para cada i valor, Φ(r_i) é o potencial eletrostático devido a todas as cargas pontuais exceto uma em r_i, e é igual a:

$\mathrm{\Phi }({𝐫}_i)=k_e\sum _{j=1}^{N(j\ne i)}\frac{q_i{q}_j}{{𝐫}_{ij}}$,

onde r_ij é a distância entre q_j e q_i.

Esboço da prova

A energia potencial eletrostática UE armazenada em um sistema de duas cargas é igual à energia potencial eletrostática de uma carga no potencial eletrostático gerado pela outra. Ou seja, se a carga q1 gerar um potencial eletrostático Φ1, que é uma função da posição r, então $U_{\mathrm{E}}=q_2{\mathrm{\Phi }}_1({𝐫}_2).$ Fazendo o mesmo cálculo em relação à outra carga, obtemos $U_{\mathrm{E}}=q_1{\mathrm{\Phi }}_2({𝐫}_1).$ A energia potencial eletrostática é mutuamente compartilhada por $q_1$ e $q_2$, então a energia total armazenada é $U_E=\frac{1}{2}[q_2{\mathrm{\Phi }}_1({𝐫}_2)+q_1{\mathrm{\Phi }}_2({𝐫}_1)]$ Isso pode ser generalizado para dizer que a energia potencial eletrostática UE armazenado em um sistema de N cargas q1, q2, ..., qN nas posições r1, r2, ..., rN respectivamente, é: $U_{\mathrm{E}}=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N{q}_i\mathrm{\Phi }({𝐫}_i)$.

Energia armazenada em um sistema de uma carga pontual

A energia potencial eletrostática de um sistema contendo apenas uma carga pontual é zero, pois não há outras fontes de força eletrostática contra a qual um agente externo deva trabalhar para mover a carga pontual do infinito até sua localização final. Dessa forma, pode-se também dizer que a energia potencial eletrostática é zero quando uma carga está infinitamente distante da outra.

Uma questão comum surge com relação à interação de uma carga pontual com seu próprio potencial eletrostático. Uma vez que essa interação não age para mover a carga pontual em si, ela não contribui para a energia armazenada do sistema.

Energia armazenada em um sistema de duas cargas pontuais

Considere trazer uma carga pontual, q, em sua posição final perto de uma carga pontual, Q₁. O potencial eletrostático Φ(r) devido a Q₁ é

$\mathrm{\Phi }(r)=k_e\frac{Q_1}{r}$

Portanto, obtemos, a energia potencial elétrica de q no potencial de Q₁ como

$U_E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q{Q}_1}{r_1}$

onde r₁ é a separação entre as duas cargas pontuais.

Energia armazenada em um sistema de três cargas pontuais

A energia potencial eletrostática de um sistema de três cargas não deve ser confundida com a energia potencial eletrostática de Q₁ devido às duas cargas Q₂ e Q₃, pois esta última não inclui a energia potencial eletrostática do sistema das duas cargas Q₂ e Q₃.

A energia potencial eletrostática armazenada no sistema de três cargas é:

$U_{\mathrm{E}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}[\frac{Q_1{Q}_2}{r_{12}}+\frac{Q_1{Q}_3}{r_{13}}+\frac{Q_2{Q}_3}{r_{23}}]$

Esboço da prova

Usando a fórmula dada em (Predefinição:EquationNote), a energia potencial eletrostática do sistema das três cargas será então: $U_{\mathrm{E}}=\frac{1}{2}[Q_1\mathrm{\Phi }({𝐫}_1)+Q_2\mathrm{\Phi }({𝐫}_2)+Q_3\mathrm{\Phi }({𝐫}_3)]$ Onde $\mathrm{\Phi }({𝐫}_1)$ é o potencial elétrico em r1 criado pelas cargas Q2 e Q3, $\mathrm{\Phi }({𝐫}_2)$ é o potencial elétrico em r2 criados pelas cargas Q1 e Q3, e $\mathrm{\Phi }({𝐫}_3)$ é o potencial elétrico em r3 criado pelas cargas Q1 e Q2. Os potenciais são: $\mathrm{\Phi }({𝐫}_1)={\mathrm{\Phi }}_2({𝐫}_1)+{\mathrm{\Phi }}_3({𝐫}_1)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q_2}{r_{12}}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q_3}{r_{13}}$ $\mathrm{\Phi }({𝐫}_2)={\mathrm{\Phi }}_1({𝐫}_2)+{\mathrm{\Phi }}_3({𝐫}_2)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q_1}{r_{21}}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q_3}{r_{23}}$ $\mathrm{\Phi }({𝐫}_3)={\mathrm{\Phi }}_1({𝐫}_3)+{\mathrm{\Phi }}_2({𝐫}_3)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q_1}{r_{31}}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q_2}{r_{32}}$ Onderab é a distância entre a carga Qa e Qb. Se adicionarmos tudo: $U_{\mathrm{E}}=\frac{1}{2}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}[\frac{Q_1{Q}_2}{r_{12}}+\frac{Q_1{Q}_3}{r_{13}}+\frac{Q_2{Q}_1}{r_{21}}+\frac{Q_2{Q}_3}{r_{23}}+\frac{Q_3{Q}_1}{r_{31}}+\frac{Q_3{Q}_2}{r_{32}}]$ Finalmente, temos que a energia potencial eletrostática armazenada no sistema de três cargas: $U_{\mathrm{E}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}[\frac{Q_1{Q}_2}{r_{12}}+\frac{Q_1{Q}_3}{r_{13}}+\frac{Q_2{Q}_3}{r_{23}}]$

Energia armazenada em uma distribuição de campo eletrostático

A densidade de energia, ou energia por unidade de volume, $\frac{dU}{dV}$, do campo eletrostático de uma distribuição de carga contínua é:

$u_e=\frac{dU}{dV}=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\left|𝐄\right|}^2.$

Esboço da prova

Pode-se pegar a equação para a energia potencial eletrostática de uma distribuição de carga contínua e colocá-la em termos de campo eletrostático. Desde a lei de Gauss para o campo eletrostático em estados de forma diferencial $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$ ONDE $𝐄$ é o vetor do campo elétrico $\rho$ é a densidade de carga total incluindo as dipolo carrega ligada em um material ${\epsilon }_0$ é a permissividade do espaço livre, então, $\begin{array}{cc}U& =\frac{1}{2}\underset{\text{all space}}{\int }\rho (r)\mathrm{\Phi }(r)dV\\ & =\frac{1}{2}\underset{\text{all space}}{\int }{\epsilon }_0(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄)\mathrm{\Phi }dV\end{array}$ então, agora usando a seguinte identidade de vetor de divergência $\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀B)=(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)B+𝐀\cdot (\mathrm{\nabla }B)\Rightarrow (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)B=\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀B)-𝐀\cdot (\mathrm{\nabla }B)$ nós temos $U=\frac{{\epsilon }_0}{2}\underset{\text{all space}}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot (𝐄\mathrm{\Phi })dV-\frac{{\epsilon }_0}{2}\underset{\text{all space}}{\int }(\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi })\cdot 𝐄dV$ usando o teorema da divergência e levando a área ao infinito onde $\mathrm{\Phi }(\mathrm{\infty })=0$ $\begin{array}{cc}U& =\stackrel{0}{\overbrace{\frac{{\epsilon }_0}{2}\underset{{}_{\text{ of space}}^{\text{boundary}}}{\int }\mathrm{\Phi }𝐄\cdot d𝐀}}-\frac{{\epsilon }_0}{2}\underset{\text{all space}}{\int }(-𝐄)\cdot 𝐄dV\\ & =\underset{\text{all space}}{\int }\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\left|𝐄\right|}^{2}dV.\end{array}$ Então, a densidade de energia, ou energia por unidade de volume $\frac{dU}{dV}$ do campo eletrostático é: $u_e=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\left|𝐄\right|}^2.$

Energia armazenada em elementos eletrônicos

A energia potencial elétrica armazenada em um capacitor é U_E=½ CV²

Alguns elementos em um circuito podem converter energia de uma forma para outra. Por exemplo, um resistor converte energia elétrica em calor, o que é conhecido como efeito Joule. Um capacitor o armazena em seu campo elétrico. A energia potencial elétrica total armazenada em um capacitor é dada por

$U_E=\frac{1}{2}QV=\frac{1}{2}C{V}^2=\frac{Q^2}{2C}$

onde C é a capacitância, V é a diferença de potencial elétrico e Q a carga armazenada no capacitor.

Esboço da prova

Pode-se montar cargas em um capacitor em incrementos infinitesimais, $dq\to 0$, de modo que a quantidade de trabalho realizado para montar cada incremento em sua localização final pode ser expressa como $W_q=Vdq=\frac{q}{C}dq.$ O trabalho total feito para carregar totalmente o capacitor desta forma é então $W=\int dW=\underset{0}{\overset{Q}{\int }}Vdq=\frac{1}{C}\underset{0}{\overset{Q}{\int }}qdq=\frac{Q^2}{2C}.$ onde $Q$ é a carga total no capacitor. Este trabalho é armazenado como energia potencial eletrostática, portanto, $W=U_E=\frac{Q^2}{2C}.$ Notavelmente, essa expressão só é válida se $dq\to 0$, o que é válido para sistemas de muitas cargas, como grandes capacitores com eletrodos metálicos. Para sistemas de poucas cargas, a natureza discreta da carga é importante. A energia total armazenada em um capacitor de poucas cargas é $U_E=\frac{Q^2}{C}$ que é obtido por um método de montagem de carga utilizando o menor incremento de carga física $\mathrm{\Delta }q=e$ where $e$ é a unidade elementar de carga e $Q=Ne$ onde $N$ é o número total de cargas no capacitor.

A energia potencial eletrostática total também pode ser expressa em termos do campo elétrico na forma

$U_E=\frac{1}{2}\underset{V}{\int }\mathrm{E}\cdot \mathrm{D}dV$

onde $\mathrm{D}$ é o campo de deslocamento elétrico dentro de um material dielétrico e a integração é sobre todo o volume do dielétrico.

A energia potencial eletrostática total armazenada dentro de um dielétrico carregado também pode ser expressa em termos de uma carga de volume contínuo, $\rho$,

$U_E=\frac{1}{2}\underset{V}{\int }\rho \mathrm{\Phi }dV$

onde a integração está em todo o volume do dielétrico.

Estas duas últimas expressões são válidas apenas para os casos em que o menor incremento de carga é zero ($dq\to 0$) como dielétricos na presença de eletrodos metálicos ou dielétricos contendo muitas cargas.

Ver também

• Lei de Coulomb
• Campo elétrico
• Potencial elétrico