Equação de Kadomtsev–Petviashvili

Cruzamento de swells, que consiste de trens de onda quase cnoidais. A interação de tais quase sólitons em águas rasas podem ser modeladas através da equação de Kadomtsev–Petviashvili.

Em matemática e física, a equação de Kadomtsev–Petviashvili – ou equação de KP, nomeadas em homenagem a Boris Borissovitch Kadomtsev e Vladimir Iosifovich Petviashvili – é uma equação diferencial parcial que descreve o movimento não-linear de ondas. A equação de KP é geralmente escrita como:

${\partial }_x({\partial }_{t}u+u{\partial }_{x}u+{ϵ}^2{\partial }_{xxx}u)+\lambda {\partial }_{yy}u=0$

onde $\lambda =\pm 1$. A expressão acima mostra que a equação de KP é a generalização de duas dimensões espaciais, x e y, da equação unidimensional da equação de Korteweg–de Vries. Para ter algum significado físico, a direção de propagação da onda tem que ser não muito longe da direção x, ou seja, apenas com variações lentas de soluções no sentido y.

Assim como a equação de KdV, a equação de KP é completamente integrável. Ela pode ser resolvida utilizando transformada inversa de espalhamento de modo semelhante a equação de Schrödinger não linear.

História

Boris Kadomtsev.

A equação de KP foi escrita pela primeira vez em 1970 pelos físicos soviéticos Boris Kadomtsev (1928–1998) e Vladimir I. Petviashvili (1936–1993); ela veio como uma generalização natural da equação de KdV (derivada por Korteweg e De Vries em 1895). Enquanto as ondas da equação de KdV são estritamente unidimensionais, na equação de KP essa restrição é relaxada. Mesmo assim, em ambas equações as ondas devem viajar no sentido positivo da direção x.

Conexões com a física

A equação de KP pode ser usada para modelar ondas de água de comprimento de onda grande com forças restauradoras e frequências de dispersão porco fracamente não lineares. Se a tensão superficial é fraca em comparação com forças gravitacionais, $\lambda =+1$ é utilizado; se a tensão superficial é forte, então $\lambda =-1$. Devido à assimetria no modo de que x e y entram na equação, as ondas descritas pela equação de KP se comportam diferentemente na direção de propagação (direção x) e na direção transversa (y); oscilações na direção y tendem a ser mais suaves.

A equação KP também pode ser utilizado para modelar ondas em meios ferromagnéticos, bem como pulsos bidimensionais de onda de matéria em condensados de condensado de Bose-Einstein.

Valores limites

Para $ϵ\ll 1$, oscilações típicas dependentes de x possuem comprimento de onda de $O(1/ϵ)$ dando origem a um regime limite singular $ϵ\to 0$. O limite $ϵ\to 0$ é chamado de limite não dispersivo.

Se também assumirmos que as soluções são independentes de y como $ϵ\to 0$, então ela também satisfaz a equação de Burgers:

${\partial }_{t}u+u{\partial }_{x}u=0.$

Supondo que a amplitude de oscilações de uma solução é assintoticamente pequena — $O(ϵ)$ — no limite não dispersivo, então a amplitude satisfaz a equação de campo médio do tipo Davey–Stewartson.

Referências

• Predefinição:Citar periódico. Tradução de Predefinição:Citar periódico
• Predefinição:Springer

Ligações externas

• Predefinição:Mathworld
• Kadomtsev–Petviashvili equation at Scholarpedia, curadoria por Gioni Biondini e Dmitri Pelinovsky.
• Predefinição:Citar web