Equação de Klein–Gordon

Em mecânica quântica, a equação de Klein–Gordon é a versão relativista da equação de Schrödinger. Algumas vezes chamada de Klein–Fock–Gordon ou Klein–Gordon–Fock.

É a equação de movimento de um campo escalar ou pseudo-escalar quântico. Este campo descreve partículas sem spin. Esta equação não corresponde a uma densidade de probabilidade definida positiva e além disso é de segunda ordem na derivada temporal, o que impede uma interpretação física simples. Ela descreve uma partícula pontual que se propaga nos dois sentidos temporais e a sua interpretação é possível recorrendo à teoria de antipartículas desenvolvida por Feynman e Stueckelberg. Todas soluções da equação de Dirac são soluções da equação de Klein-Gordon, mas o inverso é falso.

A equação

A equação de Klein–Gordon é derivada aplicando o processo de quantização a relação de energia relativística para uma partícula livre:

$E^2=c^2{\overrightarrow{\mathbf{\text{p}}}}^2+m^2{c}^4$

fazendo as identificações padrão $\overrightarrow{\mathbf{\text{p}}}\to -i\hslash \mathrm{\nabla }$ e $E\to i\hslash {\partial }_t$, em unidades SI se obtém a forma:

$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\varphi -{\mathrm{\nabla }}^2\varphi +\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\varphi =0.$

que também é frequentemente reescrita de forma mais compacta utilizando o operador d'alembertiano $◻=\frac{1}{c^2}{\partial }_{tt}-{\mathrm{\nabla }}^2$ e em unidades naturais:

$(◻+m^2)\varphi =0$

No contexto de Teoria Quântica de Campos, a equação também pode ser derivada aplicando a equação de Euler-Lagrange para campos:

$\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\left(\frac{\partial ℒ}{\partial \left({\partial }_{\mu }x\right)}\right)-\frac{\partial ℒ}{\partial x}=0$

em que a convenção de soma de Einstein está em uso, à seguinte densidade de lagrangiana:

$ℒ=\frac{1}{2}({\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}{\varphi }^2)$.

Neste contexto, após o processo de segunda quantização, se diz que este campo de Klein-Gordon descreve bósons sem carga, sem spin de massa m.

Versão Complexa

Há uma versão complexa do campo de Klein-Gordon podendo ser derivada da densidade de Lagrangiana:

$ℒ=\frac{1}{2}({\partial }_{\mu }{\varphi }^{*}{\partial }^{\mu }\varphi -\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}{\varphi }^{*}\varphi )$

satisfazendo:

$(◻+\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2})\varphi =0(◻+\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}){\varphi }^{*}=0$

A este campo $\varphi$ estão associados bósons com carga, sem spin de massa m.

História

A equação foi nomeada em honra dos físicos Oskar Klein e Walter Gordon, que a propuseram no ano de 1927 para descrever electrões relativistas. No entanto, foi mais tarde descoberto que os electrões são partículas com spin e corretamente descritos pela equação de Dirac. A equação de Klein Gordon descreve corretamente partículas escalares como o pião.