Equação de Schwinger-Dyson

A equação Schwinger-Dyson, de acordo com Julian Schwinger e Freeman Dyson, é uma equação da Teoria quântica de campos. Dada uma função F delimitada sobre as configurações do campo e, em seguida, para cada estado | ψ> (que é a solução QFT), então:

$<\psi |𝒯\{\frac{\delta }{\delta \varphi }F[\varphi ]\}|\psi >=-i<\psi |𝒯\{F[\varphi ]\frac{\delta }{\delta \varphi }S[\varphi ]\}|\psi >$

S com a função de ação e \mathcal (T) operação ordenada de tempo.

Da mesma forma, na formulação do estado densidade para qualquer estado (válidos) ρ, temos:

$\rho (𝒯\{\frac{\delta }{\delta \varphi }F[\varphi ]\})=-i\rho (𝒯\{F[\varphi ]\frac{\delta }{\delta \varphi }S[\varphi ]\})$

Estas infinitas equações podem ser usados para resolver a funções correlativas sem interrupção.

Isso também pode reduzir a ação por separação S: S [φ] = 1 / 2 D-1ij φ i + j φ Sint [φ] para o primeiro mandato quadrático D-1 e um maior rigor covariante simétrico e reversível na notação de categoria 2, na notação de DeWitt. Assim, podemos reescrever as equações do seguinte modo:

$<\psi |𝒯\{F{\varphi }^j\}|\psi >=<\psi |𝒯\{i{F}_{,i}{D}^{ij}-F{S}_{int,i}{D}^{ij}\}|\psi >$

Se F é uma função de φ e, em seguida, para um operador K, M [K] é definido como um operador que substitui K φ. Por exemplo, se

$F[\varphi ]=\frac{{\partial }^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}}\varphi (x_1)\cdots \frac{{\partial }^{k_n}}{\partial x_n^{k_n}}\varphi (x_n)$

e G é uma função de J, então:

$F[-i\frac{\delta }{\delta J}]G[J]=(-i{)}^n\frac{{\partial }^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}}\frac{\delta }{\delta J(x_1)}\cdots \frac{{\partial }^{k_n}}{\partial x_n^{k_n}}\frac{\delta }{\delta J(x_n)}G[J]$.

Se temos uma função analítica Z (conhecida função geradora) J (fonte conhecida do campo) satisfazendo a equação:

$\frac{{\delta }^{n}Z}{\delta J(x_1)\cdots \delta J(x_n)}[0]=i^{n}Z[0]<\varphi (x_1)\cdots \varphi (x_n)>$,

então usando a equação Schwinger-Dyson para o geradorr Z:

$\frac{\delta S}{\delta \varphi (x)}[-i\frac{\delta }{\delta J}]Z[J]+J(x)Z[J]=0$