Equação hiperbólica em derivadas parciais

Uma equação hiperbólica em derivadas parciais de segunda ordem é uma equação diferencial parcial do tipo

A u_{x x} + 2 B u_{x y} + C u_{y y} + D u_{x} + E u_{y} + F = 0

na qual a matriz $Z = [\begin{matrix} A & B \\ B & C \end{matrix}]$ é negativa definida.

Definição

A equação diferencial parcial é hiperbólica em um ponto P desde que o problema de Cauchy da condição de fronteira seja unicamente solúvel numa vizinhança de P para quaisquer dados iniciais numa hipersuperfície não-característica passando por P.^[1] Aqui os dados iniciais prescritos consistem de todas as derivadas (transversais) da função na superfície até uma ordem a menos do que a ordem da equação diferencial.

Um exemplo de uma equação diferencial parcial hiperbólica é a equação da onda:

$\frac{\partial^{2} 𝐮}{\partial t^{2}} - \frac{1}{v_{x}^{2}} \frac{\partial^{2} 𝐮}{\partial x^{2}} - \frac{1}{v_{y}^{2}} \frac{\partial^{2} 𝐮}{\partial y^{2}} - \frac{1}{v_{z}^{2}} \frac{\partial^{2} 𝐮}{\partial z^{2}} = 0$ ^[2]