Equações de Madelung

As equações de Madelung ou as equações da hidrodinâmica quântica são uma formulação alternativa de Erwin Madelung equivalente à equação de Schrödinger, escrita em termos de variáveis hidrodinâmicas, similar às equações de Navier-Stokes da dinâmica dos fluidos. A derivação das equações de Madelung é semelhante à formulação de de Broglie-Bohm, que representa a equação de Schrödinger como uma equação quântica de Hamilton-Jacobi .

Equações

As equações de Madelung são equações de Euler quânticas:

${\partial }_t{\rho }_m+\mathrm{\nabla }\cdot ({\rho }_m𝐮)=0,$

$\frac{d𝐮}{dt}={\partial }_t𝐮+𝐮\cdot \mathrm{\nabla }𝐮=-\frac{1}{m}\mathrm{\nabla }(Q+V)$

onde $𝐮$ é a velocidade do fluxo ${\rho }_m=m\rho =m|\psi {|}^2$ é a densidade de massa, $Q=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\mathrm{\nabla }}^2\sqrt{\rho }}{\sqrt{\rho }}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\mathrm{\nabla }}^2\sqrt{{\rho }_m}}{\sqrt{{\rho }_m}}$ é o potencial quântico de Bohm e $V$ é o potencial da equação de Schrödinger. A circulação do campo de velocidade de fluxo ao longo de qualquer trajetória fechada obedece à condição auxiliar $\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }\doteq \oint m𝐮\cdot d𝐥=2\pi n\hslash ,& n\in \mathbb{Z}\end{array}$.

As equações de Madelung são derivadas escrevendo-se a função de onda na forma polar

$\psi (𝐱,t)=\sqrt{\frac{1}{m}{\rho }_m(𝐱,t)}{e}^{\frac{i}{\hslash }S(𝐱,t)}$

e substituindo esta forma na equação de Schrödinger

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi (𝐱,t)=[\frac{-{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V(𝐱,t)]\psi (𝐱,t)$

O fluxo de velocidade é definido por

$𝐮(𝐱,t)=\frac{1}{m}\mathrm{\nabla }S$,

a partir do qual também descobrimos que $\frac{1}{m}{\rho }_m𝐮=𝐣=\frac{\hslash }{2mi}[{\psi }^{*}(\mathrm{\nabla }\psi )-\psi (\mathrm{\nabla }{\psi }^{*})]$, onde $𝐣$ é a corrente de probabilidade da mecânica quântica padrão.

A força quântica, que é o negativo do gradiente do potencial quântico, também pode ser escrita em termos do tensor quântico de pressão.

${𝐅}_{𝐐}=-\mathrm{\nabla }Q=-\frac{m}{{\rho }_m}\mathrm{\nabla }\cdot {𝐩}_Q$

onde

${𝐩}_Q=-(\hslash /2m{)}^2{\rho }_m\mathrm{\nabla }\otimes \mathrm{\nabla }\ln {\rho }_m$

A integral de energia armazenada no tensor de pressão quântica é proporcional à informação de Fisher, que é responsável pela qualidade das medições. Assim, de acordo com o limite de Cramér-Rao, o princípio da incerteza de Heisenberg é equivalente a uma desigualdade padrão para a eficiência (estatística) das medições. A definição termodinâmica do potencial químico quântico $\mu =Q+V=\frac{1}{\sqrt{{\rho }_m}}\hat{H}\sqrt{{\rho }_m}$ segue do equilíbrio da força hidrostática acima $\mathrm{\nabla }\mu =(m/{\rho }_m)\mathrm{\nabla }\cdot {𝐩}_Q+\mathrm{\nabla }V$. De acordo com a termodinâmica, em equilíbrio, o potencial químico é constante em todos os lugares, o que corresponde diretamente à equação estacionária de Schrödinger. Portanto, os autovalores da equação de Schrödinger são energias livres, que diferem das energias internas do sistema. A energia interna das partículas é calculada via $\epsilon =\mu -\mathrm{tr}({𝐩}_Q)(m/{\rho }_m)=-{\hslash }^2(\mathrm{\nabla }\ln {\rho }_m{)}^2/8m+U$ e está relacionado com a correção local de Carl Friedrich von Weizsäcker . No caso de um oscilador harmônico quântico, por exemplo, pode-se facilmente mostrar que a energia do ponto zero é o valor do potencial químico do oscilador, enquanto a energia interna do oscilador é zero no estado fundamental,$\epsilon =0$. Assim, a energia do ponto zero representa a energia para colocar um oscilador estático no vácuo, o que mostra novamente que as flutuações do vácuo são a razão da mecânica quântica.

Ver também

• Potencial Quântico
• Hidrodinâmica Quântica
• Mecânica Quântica Bohmiana

Leitura adicional

• Predefinição:Citar periódico