Função homogênea

Uma função homogénea não é necessariamente contínua, como mostrado por este exemplo. Esta função f é definida por:
$f(x,y)=x$ se $xy>0$ ou
$f(x,y)=0$ se $xy\le 0$.
Esta função é homogénea de grau 1, i.e. $f(\alpha x,\alpha y)=\alpha f(x,y)$ para quaisquer números reais $\alpha ,x,y$. É descontínua em $y=0$.

Uma função $f(𝐱)$ diz-se Predefinição:PBPE de grau $k$ se:

$f\left(t𝐱\right)=t^{k}f\left(𝐱\right)$

quando $𝐱$ e $t𝐱$ pertencem ao domínio de $f(𝐱)$.

Ou seja, uma função homogênea é aquela que, se sofrer transformação em suas variáveis, resulta em uma outra função que é proporcional à função original.

O conceito de função homogênea é essencial no tratamento da Análise Dimensional. Além disso, é fundamental em física. De acordo com o teorema da homogeneidade, também conhecido como teorema de Vaschy-Buckingam, em toda a expressão, equação ou fórmula física, as dimensões de todos os seus termos devem ser idênticas (equação homogênea).

Exemplos

• $f(x,y)=x^2+y^2$ é uma função homogênea de grau 2, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos:

$f(tx,ty)=(tx{)}^2+(ty{)}^2=t^2{x}^2+t^2{y}^2=t^2(x^2+y^2)=t^{2}f(x,y)$

• $f(x,y)=\frac{x^2}{y^2}$ é uma função homogênea de grau 0, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos:

$f(tx,ty)=\frac{(tx{)}^2}{(ty{)}^2}$ $=\frac{t^2{x}^2}{t^2{y}^2}=t^0\times \frac{x^2}{y^2}=t^{0}f(x,y)=f(x,y)$

Propriedades

Uma função homogênea algébrica u de duas variáveis (x,y) pode ser escrita como $u=x^k\varphi (\frac{y}{x})$

Analogamente, para uma função de várias variáveis (x, y, z, ...) pode-se mostrar que $u=x^k\varphi (\frac{y}{x},\frac{z}{x},\dots )$

Derivadas de funções homogêneas

Se $f(x_1,x_2,...,x_n)$ é homogênea de grau $k$, então, para qualquer n, a função de derivada parcial $\frac{\partial f(x_1,x_2,...,x_n)}{\partial x_n}$, se existir, é homogênea de grau $(k-1)$

Identidade de Euler

A identidade de Euler aplicada às funções homogêneas dita o seguinte.

Seja $f(x_1,x_2,x_3,...,x_m)$ uma função homogénea de grau $n$, então verifica-se a seguinte igualdade:

$x_1\frac{\partial f}{\partial x_1}+x_2\frac{\partial f}{\partial x_2}+x_3\frac{\partial f}{\partial x_3}+...+x_m\frac{\partial f}{\partial x_m}=n\cdot f$

Exemplo

$f(x,y)=x^2+y^2$ é homogénea de grau $n=2$. Então

$x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=x(2x)+y(2y)=2(x^2+y^2)=2\cdot f(x,y)$