Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff

Em Teoria de Lie, teoria de operadores e teoria matricial, a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff descreve a exponenciação de elementos de uma álgebra de Lie que não necessariamente comutam:

\exp (A) \exp (B) = \exp (A + B + \frac{1}{2} [A, B] + \frac{1}{12} ([A, [A, B]] + [B, [B, A]]) + . . .)

onde $[A, B]$ é o comutador da álgebra, e os termos posteriores são todos comutadores de comutadores.

Importância

A fórmula é importante em mecânica quântica no cálculo da evolução temporal de observáveis^[1] e teoria quântica de campos e em Teoria de Lie na correspondência entre Álgebras de Lie e Grupos de Lie.

Casos Especiais

No caso em que $[A, B] = 0$ a fórmula se reduz à exponenciação como para números:

$e^{A} e^{B} = e^{A + B}$

o que mostra que, para elementos que comutam, a exponenciação tem o mesmo comportamento que nos complexos.

Um caso especial importante na mecânica quântica é quando vale que $[A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0$ , isto é, os operadores comutam com seu comutador. Neste caso a fórmula se reduz a $e^{A} e^{B} = e^{A + B + \frac{[A, B]}{2}}$ .