Fórmula de Taylor

Predefinição:Reciclagem Fórmula de Taylor ou Polinômio de Taylor ou Série de Taylor é uma expressão que permite o cálculo do valor de uma função por aproximação local através de uma função polinomial. Supondo f infinitamente derivável num intervalo contendo um ponto $x_{0}$ , temos:

$T (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + \frac{f^{″} (x_{0}) \cdot (x - x_{0})^{2}}{2} + \frac{f^{‴} (x_{0}) \cdot (x - x_{0})^{3}}{6} + . . .$
$T (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{f^{(n)} (x_{0}) \cdot (x - x_{0})^{n}}{n!})$ ^[1]

Assim, pode-se ganhar precisão até quanto se queira. Para $n = 1$ , por exemplo:

$T_{1} (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) \cdot (x - x_{0})$

Esta é uma função que descreve a equação de uma reta (devido ao expoente $1$ relativo à variável $x$ ). Esta reta possuí o coeficiente angular $f^{'} (x_{0})$ , logo, o gráfico de $T$ é uma reta tangente ao gráfico de f no ponto $(x_{0}, f (x_{0}))$ . É importante ressaltar que este conceito está diretamente ligado à ideia de diferencial.

Exemplo

Encontrar $\ln 1, 0031$

$f (x) = \ln x$ (função envolvida no problema)
$x_{0} = 1$ (ponto próximo onde conheço o valor da função)

$T (1, 0031) = \ln 1 + 1 / 1 \cdot 0, 0031 = 0, 0031 = > \ln 1, 0031 \approx 0, 0031$

Margem de erro para primeira ordem

Ao fazer a aproximação de f no ponto x por T₁ no ponto x comete-se um erro:

$E (x) = f (x) - T_{1} (x)$
$E (x) = f (x) - f (x_{0}) - f^{'} (x_{0}) \cdot (x - x_{0})$
$E (x) / (x - x_{0}) = (f (x) - f (x_{0})) / (x - x_{0}) - f^{'} (x_{0})$
$\lim_{x \to x_{0}} E (x) / (x - x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} ((f (x) - f (x_{0})) / (x - x_{0}) - f^{'} (x_{0}))$
$\lim_{x \to x_{0}} E (x) / (x - x_{0}) = f^{'} (x_{0}) - f^{'} (x_{0})$
$\lim_{x \to x_{0}} E (x) / (x - x_{0}) = 0$

A última expressão significa que o erro cometido tende a zero mais rápido que a diferença $(x - x_{0})$ .

A função T que foi examinada é um polinômio de 1ºgrau que é denominado o Polinômio de Taylor, de ordem $1$ , de $f$ em volta de $x 0$ e é escrito como: